Advertisements
Advertisements
प्रश्न
यदि x = sint और y = sin pt है तो सिद्ध कीजिए कि `(1 - x^2) ("d"^2"y")/("dx"^2) - x "dy"/"dx" + "p"^2y` = 0 है।
उत्तर
दिया गया है कि: x = sin t और y = sin pt
दोनों प्राचलिक फलनों को अलग करना w.r.t. t
`"dx"/"dt"` = cos t and `"dy"/"dt"` = cos pt. p = p cos pt
`"dy"/"dx" = ("dy"/"dt")/("dx"/"dt")`
= `("p" cos "pt")/cos "t"`
∴ `"dy"/"dx" = ("p" cos "pt")/cos"t"`
फिर से अंतर करना w.r.t. x,
`"d"/"dx"("dy"/"dx") = "p"*"d"/"dx"(cos"pt"/cos"t")`
⇒ `("d"^2y)/("dx"^2) = "p"[(cos "t" * "d"/"dx" (cos "pt") - cos "pt" * "d"/"dx" (cos "t"))/(cos^2"t")]`
= `"p"[(cos"t"(- sin "pt") * "p" "dt"/"dx" - cos "pt"(- sin "t") * "dt"/"dx")/(cos^2"t")]`
= `"p"[(-"p" cos "t" sin "pt" + cos "pt" sin "t")/(cos^2"t")]"dt"/"dx"`
= `"p"[(-"p" cos "t" sin "pt" + cos "pt" sin "t")/(cos^2"t")]* 1/cos"t"`
= `"p"[(-"p" cos "t" sin "pt" + cos "pt" sin "t")/cos^3"t"]`
अब हमें यह साबित करना है कि
`(1 - x^2) * ("d"^2y)/("dx"^2) - x * "dy"/"dx" + "p"^2y` = 0
L.H.S. = `(1 - x^2) ["p"((-"p" cos "t" sin "pt" + cos "pt" sin "t")/cos^3"t")] - x."p" (cos "pt")/cos"t" + "p"^2y`
⇒ `(1 - sin^2"t") ["p"((-"p" cos "t" sin "pt" + cos "pt" sin "t")/cos^3"t")] - ("p" sin "t" * cos "pt")/cos"t" + "p"^2 * sin "pt"`
⇒ `cos^2"t" [(-"p"^2 cos "t" sin "pt" + cos "pt" sin "t")/(cos^3"t")] - ("p" sin "t" * cos "pt")/cos"t" + "p"^2 * sin "pt"`
⇒ `(-"p"^2 cos "t" sin "pt" + "p" cos "pt" sin "t")/cos "t" - ("p" sin "t" cos "pt")/cos"t" + "p"^2 sin "pt"`
⇒ `(-"p"^2 cos "t" sin "pt" + "p" cos "pt" sin "t" - "p" sin "t" cos "pt" + "p"^2 sin "pt" cos "t")/cos "t"`
⇒ `0/cos"t"` = 0 = R.H.S.
इसलिए साबित हुआ।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
`(cos^-1 x/2)/(sqrt(2x + 7))`, - 2 < x < 2`
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
cos (acos x + b sin x), किन्हीं अचर a तथा b के लिए।
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
`(sin x- cos x)^(sin x – cos x) π/4 < x < (3π)/4`
यदि f(x) = `{{:((x^3 + x^2 - 16x + 20)/(x - 2)^2",", x ≠ 2),("k"",", x = 2):}` पर संतत है, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
`sqrttan sqrt(x)` को x के सापेक्ष अवकलित कीजिए।
`[0, pi/2]` में फलन f(x) = sin 2x के लिए रोले के प्रमेय का सत्यापन कीजिए।
मान लीजिए कि f(x) = `{{:((1 - cos 4x)/x^2",", "यदि" x < 0),("a"",", "if" x = 0),(sqrt(x)/(sqrt(16) + sqrt(x) - 4)",", "यदि" x > 0):}` है। a के किस मान के लिए x = 0 पर f संतत है?
निम्नलिखित का सुमेलन कीजिए-
| स्तंभ-I | स्तंभ-II |
| (A) यदि फलन f(x) = `{((sin3x)/x, "यदि फलन" x = 0),("k"/2",", "यदि फलन" x = 0):}` x = 0 पर संतत है, तो k बराबर है |
(a) |x| |
| (B) प्रत्येक संतत फलन अवकलनीय होता हैं | (b) सत्य |
| (C) एक फलन का उदाहरण, जो प्रत्येक स्थान पर॑ संतत है, परंतु ठीक एक स्थान पर अवकलनीय नहीं है | (c) 6 |
| (D) तत्समक फलन, अर्थात, f (x) = x ∀ ∈x R एक संतत फलन है |
(d) असत्य |
|sinx| चर के x के प्रत्येक मान के लिए एक अवकलनीय फलन है।
फलन f(x) = x3 + 2x2 – 1 को x = 1 पर संततता की जाँच कौजिए।
फलन f(x) = `1/(x + 2)` दिया है। संयोजित फलन y = f (f (x)) में असंतत्य के बिंदु ज्ञात कीजिए।
x = 0 पर, f(x) = `{{:(x^2 sin 1/x",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = 0):}`
एक फलन f: R → R सभी x, y ∈R, f (x) ≠ 0 के लिए समीकरण f (x +y)=f (x) f (y) को संतुष्ट करता है। मान लीजिए कि यह फलन x = 0 पर अवकलनीय है तथा f ′ (0) = 2 है। सिद्ध कीजिए कि f ′(x) = 2 f (x) है।
sinn (ax2 + bx + c)
`sin^-1 1/sqrt(x + 1)`
(sin x)cosx
`sec^-1 (1/(4x^3 - 3x)), 0 < x < 1/sqrt(2)`
x = `"e"^theta (theta + 1/theta)`, y= `"e"^-theta (theta - 1/theta)`
sin x = `(2"t")/(1 + "t"^2)`, tan y = `(2"t")/(1 - "t"^2)`
sinx के सापेक्ष `x/sinx`को अवकलित कीजिए।
यदि x = `"e"^(x/y)` तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = (x - y)/(xlogx)`
यदि x sin (a + y) + sin a cos (a + y) = 0 तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = (sin^2("a" + y))/sin"a"`
[0, 1] में f(x) = x(x – 1)2
[–1, 1] में f(x) = log(x2 + 2) – log3
p और q के ऐसे मान ज्ञात कीजिए कि फलन f(x) = `{{:(x^2 + 3x + "p"",", "यदि" x ≤ 1),("q"x + 2",", "यदि" x > 1):}` बिंदु x = 1 पर अवकलनीय हो।
यदि xm . yn = (x + y)m+n है तो सिद्ध कीजिए कि `("d"^2"y")/("dx"^2)` = 0
यदि y = `x^tanx + sqrt((x^2 + 1)/2)` है, तो `"dy"/"dx"` ज्ञात कीजिए।
यदि f(x) = 2x और g(x) = `x^2/2 + 1` है तो निम्नलिखित में से कौन - सा फलन असंतत हो सकता है?
फलन f(x) = cot x निम्नलिखित समुच्चय पर असंतत है।
