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प्रश्न
sinx के सापेक्ष `x/sinx`को अवकलित कीजिए।
उत्तर
मान लीजिए y = `x/sinx` और z = sin x.
दोनों प्राचलिक फलनों को अलग करना w.r.t. x
`"dy"/"dx" = (sin x * "d"/"dx" (x) - x * "d"/"dx" (sin x))/(sin x)^2`
= `(sin x * 1 - x * cos x)/(sin^2x)`
= `(sinx - x cos x)/(sin^2x)`
`"dz"/"dx"` = cos x
∴ `"dy"/"dz" = ("dy"/"dx")/("dz"/"dx")`
= `((sinx - x cos x)/sin^2x)/cosx`
= `(sinx - xcosx)/(sin^2x cos x)`
= `sinx/(sin^2x cosx) - (xcosx)/(sin^2x cosx)`
= `tanx/(sin^2x) - x/(sin^2x)`
= `(tanx - x)/(sin^2x)`
इसलिए, `"dy"/"dz" = (tanx - x)/(sin^2x)`
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अचर k का मान ज्ञात कीजिए ताकि फलन f ] x = 0 पर संतत हो, जहाँ f(x) = `{{:((1 - cos4x)/(8x^2)",", x ≠ 0),("k"",", x = 0):}` है।
`sqrttan sqrt(x)` को x के सापेक्ष अवकलित कीजिए।
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x=0 पर f(x) = `{{:((1 - cos 2x)/x^2",", "यदि" x ≠ 0),(5",", "यदि" x = 0):}`
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x = 0 पर f(x) = `{{:(|x|cos 1/x",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = 0):}`
x = 1 पर f(x) = `{{:(x^2/2",", "यदि" 0 ≤ x ≤ 1),(2x^2 - 3x + 3/2",", "यदि" 1 < x ≤ 2):}`
x = 0 पर f(x) = `{{:((1 - cos "k"x)/(xsinx)",", "यदि" x ≠ 0),(1/2",", "यदि" x = 0):}`
फलन f(x) = `1/(x + 2)` दिया है। संयोजित फलन y = f (f (x)) में असंतत्य के बिंदु ज्ञात कीजिए।
`log (x + sqrt(x^2 + "a"))`
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`cos^-1 ((sinx + cosx)/sqrt(2)), (-pi)/4 < x < pi/4`
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sec(x + y) = xy
यदि ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2fy + c = 0, तो दर्शाइए कि `"dy"/"dx" * "dx"/"dy"` = 1
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[–1, 1] में f(x) = log(x2 + 2) – log3
वक्र y = (x – 3)2 पर एक ऐसा बिंदु ज्ञात कीजिए, जिस पर स्पर्श रेखा (3, 0) और (4, 1) बिंदुओं को मिलाने वाली जीवा के समांतर हो।
माध्य मान प्रमेय का प्रयोग करते हुए, सिद्ध कीजिए कि वक्र y = 2x2 – 5x + 3 पर एक ऐसा बिंदु है जो A(1, 0) और B (2, 1) बिंदुओं के बीच स्थित है तथा उस पर खींची गयी स्पर्श रेखा जीवा AB के समांतर है। साथ ही, वह बिंदु भी ज्ञात कीजिए।
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यदि f(x) = 2x और g(x) = `x^2/2 + 1` है तो निम्नलिखित में से कौन - सा फलन असंतत हो सकता है?
फलन f(x) = `(4 - x^2)/(4x - x^3)`
बिंदुओं का वह समुच्चय, जहाँ f(x) = |2x − 1| sinx| से दिये जाना वाला फलन f अवकलनीय है, निम्नलिखित है।
यदि x = t2 और y = t3 है, तो `("d"^2"y")/("dx"^2)` है।
वक् `sqrt(x) + sqrt(y)` = 1 के लिए, `(1/4, 1/4)` पर `"dy"/"dx"` ______
[0, 2] में फलन f(x) = |x – 1| के लिए, रोले का प्रमेय प्रयुक्त है।
