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प्रश्न
बिंदुओं का वह समुच्चय, जहाँ f(x) = |2x − 1| sinx| से दिये जाना वाला फलन f अवकलनीय है, निम्नलिखित है।
विकल्प
R
`"R" - {1/2}`
`(0, oo)`
इनमें से कोई नहीं।
उत्तर
सही उत्तर `underline("R" - {1/2})` है।
व्याख्या:
यह देखते हुए कि: f(x) = |2x − 1| sinx
स्पष्ट रूप से, f(x) x = `1/2` पर भिन्न नहीं है।
R.H.L. = `"f'"(1/2) = lim_("h" -> 0) ("f"(1/2 + "h") - "f"(1/2))/"h"`
= `lim_("h" -> 0) (|2(1/2 + "h") - 1|sin(1/2 + "h") - 0)/"h"`
= `lim_("h" -> 0) (|2"h"| sin((1 + 2"h")/2))/"h"`
= `2 sin (1/2)`
इसके अलावा L.H.L. = `"f'"(1/2) = lim_("h" -> 0) ("f"(1/2 - "h") - "f"(1/2))/(-"h")`
= `lim_("h" -> 0) (|2(1/2 - "h") - 1|[- sin (1/2 - "h")] - 0)/(-"h")`
= `(|-2"h"|[-sin(1/2 - "h")])/(-"h")`
= `- 2 sin (1/2)`
∴ R.H.L. = `"f'"(1/2)` ≠ L.H.L. `"f'"(1/2)`
तो, दिया गया फलन f(x) x = `1/2` पर भिन्न नहीं है।
∴ f(x) में भिन्न है `"R" - {1/2}`
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