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प्रश्न
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
xx + xa + ax + aa, किसी नियत a > 0 तथा x > 0 के लिए।
उत्तर
माना y = xx + xa + ax + aa
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`dy/dx = d/dx (x^x) + d/dx (x^a) + d/dx (a^x) + (a^a) d/dx (1)`
`= d/dx (x^x) + ax^(a - 1) + a^x log a + 0` ...(1)
u = xx (माना)
दोनों तरफ log लेने पर,
log u = x log x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`1/u (du)/dx = x d/dx log x + log x d/dx (x)`
`= x * 1/x + log x = (1 + log x)`
`therefore (du)/dx = u (1 + log x) = x^x (1 + log x)`
अर्थात `d/dx (x^x) = (du)/dx = x^x (1 + log x)`
`d/dx (x^x)` का मान समीकरण (1) में रखने पर,
`dy/dx = x^x (1 + log x) + ax^(a - 1) + a^x log a`
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x = 5 पर f(x) = `{{:(3x - 8",", "यदि" x ≤ 5),(2"k"",", "यदि" x > 5):}`
x = 0 पर f(x) = `{{:((1 - cos "k"x)/(xsinx)",", "यदि" x ≠ 0),(1/2",", "यदि" x = 0):}`
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x = 0 पर, f(x) = `{{:(x^2 sin 1/x",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = 0):}`
`8^x/x^8`
`tan^-1 (secx + tanx), - pi/2 < x < pi/2`
sinx के सापेक्ष `x/sinx`को अवकलित कीजिए।
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(x2 + y2)2 = xy
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[1, 5] में f(x) = `sqrt(25 - x^2)`
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फलन f(x) = cot x निम्नलिखित समुच्चय पर असंतत है।
cos–1(2x2 – 1) के सापेक्ष cos–1x का अवकलज है।
यदि f(x) = |cosx – sinx| है तो `"f'"(pi/3)` = ______
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