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Question
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
xx + xa + ax + aa, किसी नियत a > 0 तथा x > 0 के लिए।
Solution
माना y = xx + xa + ax + aa
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`dy/dx = d/dx (x^x) + d/dx (x^a) + d/dx (a^x) + (a^a) d/dx (1)`
`= d/dx (x^x) + ax^(a - 1) + a^x log a + 0` ...(1)
u = xx (माना)
दोनों तरफ log लेने पर,
log u = x log x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`1/u (du)/dx = x d/dx log x + log x d/dx (x)`
`= x * 1/x + log x = (1 + log x)`
`therefore (du)/dx = u (1 + log x) = x^x (1 + log x)`
अर्थात `d/dx (x^x) = (du)/dx = x^x (1 + log x)`
`d/dx (x^x)` का मान समीकरण (1) में रखने पर,
`dy/dx = x^x (1 + log x) + ax^(a - 1) + a^x log a`
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मान लीजिए कि f(x)= |cosx| है।जब,
x के सापेक्ष sec (tan–1x) का अवकल गुणांक है
फलन f(x) = e x sinx, x ∈ π [0, π] के लिए, रोले के प्रमेय में c का मान है
फलन f (x) = x (x – 2), x ∈ [1, 2] के लिए, माध्य मान प्रमेय में c का मान है
निम्नलिखित का सुमेलन कीजिए-
| स्तंभ-I | स्तंभ-II |
| (A) यदि फलन f(x) = `{((sin3x)/x, "यदि फलन" x = 0),("k"/2",", "यदि फलन" x = 0):}` x = 0 पर संतत है, तो k बराबर है |
(a) |x| |
| (B) प्रत्येक संतत फलन अवकलनीय होता हैं | (b) सत्य |
| (C) एक फलन का उदाहरण, जो प्रत्येक स्थान पर॑ संतत है, परंतु ठीक एक स्थान पर अवकलनीय नहीं है | (c) 6 |
| (D) तत्समक फलन, अर्थात, f (x) = x ∀ ∈x R एक संतत फलन है |
(d) असत्य |
cos |x| प्रत्येक स्थान पर अवकलनीय है।
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`cos(tan sqrt(x + 1))`
`sec^-1 (1/(4x^3 - 3x)), 0 < x < 1/sqrt(2)`
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sec(x + y) = xy
यदि ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2fy + c = 0, तो दर्शाइए कि `"dy"/"dx" * "dx"/"dy"` = 1
यदि x = sint और y = sin pt है तो सिद्ध कीजिए कि `(1 - x^2) ("d"^2"y")/("dx"^2) - x "dy"/"dx" + "p"^2y` = 0 है।
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