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प्रश्न
फलन f(t) = `1/("t"^2 + "t" - 2)`, की असंततता के सभी बिंदु ज्ञात कीजिए, जहाँ t = `1/(x - 1)` है।
उत्तर
हमारे पास, f(t) = `1/("t"^2 + "t" - 2)`
जहाँ t = `1/(x - 1)`
∴ f(t) = `1/((1/(x - 1))^2 + 1/(x - 1) - 2)`
= `(x - 1)^2/(1 + (x - 1) - 2(x - 1)^2)`
= `(x - 1)^2/(-(2x^2 - 5x + 2))`
= `(x - 1)^2/((2x - 1)(2 - x))`
अतः f(t) 2x – 1 = 0 पर असंतत है
⇒ x = `1/2` और 2 – x = 0
⇒ x = 2
साथ ही f(t) x = 1, पर असंतत है, जहाँ t = `1/(x - 1)` असंतत है।
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x = 0 पर f(x) = `{{:((sqrt(1 + "k"x) - sqrt(1 - "k"x))/x",", "यदि" -1 ≤ x < 0),((2x + 1)/(x - 1)",", "यदि" 0 ≤ x ≤ 1):}`
सिद्ध कीजिए कि f(x) = `{{:(x/(|x| + 2x^2)",", x ≠ 0),("k", x = 0):}` से परिभाषित फलन f बिंदु x = 0 पर असंतत रहता है, चाहे k का कोई भी मान लिया जाए।
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माध्य मान प्रमेय का प्रयोग करते हुए, सिद्ध कीजिए कि वक्र y = 2x2 – 5x + 3 पर एक ऐसा बिंदु है जो A(1, 0) और B (2, 1) बिंदुओं के बीच स्थित है तथा उस पर खींची गयी स्पर्श रेखा जीवा AB के समांतर है। साथ ही, वह बिंदु भी ज्ञात कीजिए।
यदि xm . yn = (x + y)m+n है तो सिद्ध कीजिए कि `("d"^2"y")/("dx"^2)` = 0
यदि y = `x^tanx + sqrt((x^2 + 1)/2)` है, तो `"dy"/"dx"` ज्ञात कीजिए।
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फलन f(x) = `"e"^|x|`
यदि y = `log ((1 - x^2)/(1 + x^2))` है, तो `"dy"/"dx"` बराबर है।
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