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प्रश्न
उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर f(x) = (x – 2)4 (x + 1)4 द्वारा प्रदत्त फलन f का
- स्थानीय उच्चतम बिन्दु है,
- स्थानीय निम्नतम बिन्दु है,
- नत परिवर्तन बिन्दु है।
उत्तर
यहाँ, f (x) = (x - 2)4 (x + 1)4
∴ f'(x) = (x - 2)4 · 3(x + 1)2 + (x + 1)3 · 4(x - 2)3
= (x - 2)3 (x + 1)2 [3(x - 2) + 4(x + 1)]
= (x - 2)3 (x + 1)2 [3x - 6 + 4x + 4]
= (x - 2)3 (x + 1)2 (7x - 2)
= 7(x - 2)3 (x + 1)2 `(x - 2/7)`
उच्चतम व निम्नतम के लिए 1 (x)= 0
⇒ 7(x - 2)3 + (x + 1)2 `(x - 2/7)` = 0
∴ = 2, -1, `2/7`
(i) जब x = 2 पर,
x, 2 के निकट और 2 के बायीं ओर तो, f(x) = (-)(+)(+) = -ve
x, 2 के निकट और 2 के दायीं ओर तो, f(x) = (+)(+)(+) = + ve
∴ जब x, x = -2 से होकर आगे बढ़ता है तो f(x) का चिह्न ऋण से धन में परिवर्तित हो जाता है।
⇒ f, x = 2 पर निम्नतम है।
(ii) x = -1 पर,
x, -1 के निकट और 1 से कम मान रखने पर,
f'(x) = (-)(+)(-) = + ve
x, -1 के निकट और -1 से अधिक मान रखने पर,
f(x) = (-)(+)(-) = + ve
⇒ x, -1 एक नत परिवर्तन बिन्दु है।
(iii) x = `2/7` = 0.28 पर
x का `2/7` के निकट `2/7` से कम मान रखने पर,
f'(x) = (-)(+)(-) = + ve
x का `2/7` के निकट और `2/7` से अधिक मान रखने पर,
f'(x) = (-)(+)(-) = -ve
⇒ x = `2/7` पर, (x) धन से ऋण में परिवर्तित हो जाता है,
जैसे ही x, x = `2/7` से होकर आगे बढ़ता है।
इस प्रकार, x = 2 पर निम्नतम है, x = -1 पर नत परिवर्तन और x = `2/7` पर उच्चतम होता है।
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