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प्रश्न
36 cm परिमाप वाले आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए जिसे उसकी भुजाओं में से किसी एक के चारों ओर घुमाने पर अधिक से अधिक सम्भव आयतन प्रसर्प (sweep) हो।
उत्तर
मान लीजिए x और y दिए गए आयत ABCD की लंबाई और चौड़ाई है, प्रश्न के अनुसार, आयत AD के चारों ओर घूमती है जो त्रिज्या x ऊँचाई y वाला एक बेलन बनाएगी।
∴ बेलन का आयतन V = `(pi"r"^2)/"h"`
⇒ V = `pix^2y` .....(i)
अब आयत P का परिमाप = 2(x + y)
⇒ 36 = 2(x + y)
⇒ x + y = 18
⇒ y = 18 – x ....(iii)
y का मान समीकरण (i) में रखना हमें मिलता है
V = `pix^2(18 - x)`
⇒ V = `pi(18x^2 - x^3)`
दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. x, हमें मिलता है
`"dV"/"dx" = pi(36x - 3x^2)` ....(iii)
`"dV"/"dx"` = 0 स्थानीय उच्चिष्ठ और स्थानीय निम्निष्ठ के लिए,
∴ `pi(36x - 3x^2)` = 0
⇒ 36x – 3x2 = 0
⇒ 3x(12 – x) = 0
⇒ x 0
∴ 12 – x = 0
⇒ x = 12
समीकरण (ii) से
y = 18 – 12 = 6
विभेदक समीकरण (iii) w.r.t. x,
हमें मिलता है `("d"^2"V")/("dx"^2) = pi(36 - 6x)`
x = 12 पर `("d"^2"V")/("dx"^2)`
= `pi(36 - 6 xx 12)`
= `pi(36 - 72)`
= `- 36pi < 0` उच्चिष्ठ
अब इस प्रकार बने बेलन का आयतन = `pix^2y`
= `pi xx (12)^2 xx 6`
= `pi xx 144 xx 6`
= 864π cm3
इसलिए, अभीष्ट आयाम 12 cm और 6 cm और tअधिकतम आयतन 864π cm3 है।
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