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प्रश्न
एक समलंब ABCD की क्रमशः समांतर भुजाओं AB और DC के मध्य-बिंदुओं M और N को मिलाने वाला रेखाखंड दोनों भुजाओं AB और DC पर लंब है। सिद्ध कीजिए कि AD = BC है।
उत्तर
दिया गया है - समलंब ABCD में, बिंदु M और N क्रमशः समानांतर भुजाओं AB और DC के मध्य-बिंदु हैं और MN को मिलाते हैं, जो AB और DC के लंबवत है।
सिद्ध करना है - AD = BC
उपपत्ति - चूँकि M, AB का मध्य-बिंदु है।
∴ AM = MB
अब, ΔAMN और ΔBMN में,
AM = MB ...[ऊपर प्रमाणित]
∠3 = ∠4 ...[प्रत्येक 90°]
MN = MN ...[उभयनिष्ठ पक्ष]
∴ ΔAMN ≅ ΔBMN ...[SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा]
∴ ∠1 = ∠2 ...[CPCT द्वारा]
उपरोक्त समीकरण के दोनों पक्षों को –1 से गुणा करने पर और फिर दोनों पक्षों में 90° जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है।
90° – ∠1 = 90° – ∠2
⇒ ∠AND = ∠BNC ...(i)
अब, ΔADN और ΔBCN में,
∠AND = ∠BNC ...[समीकरण (i) से]
AN = BN ...[∵ΔAMN ≅ ΔBMN]
और DN = NC ...[∵ N, CD का मध्य-बिंदु है (दिया गया है।)]
∴ ΔADN ≅ ΔBCN ...[SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा]
अतः, AD = BC ...[CPCT द्वारा]
अतः सिद्ध हुआ।
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