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प्रश्न
सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके निम्नलिखित प्रश्न को सिद्ध कीजिए:
`|(alpha,alpha^2,beta+gamma),(beta,beta^2,gamma+alpha),(gamma,gamma^2,alpha+beta)| = (beta - gamma)(gamma - alpha)(alpha - beta)(alpha + beta + gamma)`
उत्तर
माना, Δ = `[(alpha,alpha^2,beta+gamma),(beta,beta^2,gamma + alpha),(gamma,gamma^2,alpha+beta)]`
Δ = `[(alpha,alpha^2,alpha+beta+gamma),(beta,beta^2,alpha+beta+gamma),(gamma,gamma^2,alpha+beta+gamma)], [C_3 → C_3 + C_1]`
Δ = `(alpha+beta+gamma)[(alpha,alpha^2,1),(beta,beta^2,1),(gamma,gamma^2,1)]`
= `(alpha+beta+gamma)[(alpha-beta,alpha^2 - beta^2,0),(beta-gamma,beta^2-gamma^2,0),(gamma,gamma^2,1)]`
[R1 → R1 - R2 तथा R2 → R2 - R3]
= `(alpha+beta+gamma)[(alpha-beta,(alpha - beta)(alpha + beta),0),(beta-gamma,(beta-gamma)(beta+gamma),0),(gamma,gamma^2,1)]`
R1 में से `(alpha-beta), R_2` में से `(beta-gamma)` उभयनिष्ठ लेने पर,
= `(alpha + beta + gamma)(alpha - beta)(beta - gamma)[(1,alpha+beta,0),(1,beta+gamma,0),(gamma,gamma^2,1)]`
= `(alpha + beta + gamma)(alpha - beta)(beta - gamma)[1(beta+gamma - 0) - (alpha+beta)(1-0)]`
= `(alpha + beta + gamma)(alpha-beta)(beta-gamma)[beta+gamma -alpha - beta]`
= `(alpha + beta + gamma)(alpha-beta)(beta-gamma)(gamma-alpha)`
अतः Δ = `(alpha-beta)(beta-gamma)(gamma-alpha)(alpha+beta+gamma)` = R.H.S.
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