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प्रश्न
सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके निम्नलिखित प्रश्न को सिद्ध कीजिए:
`[(x,x^2,1+px^3),(y,y^2,1+py^3),(z,z^2,1+pz^3)]` = (1 + pxyz) (x - y) (y - z) (z - x)
उत्तर
L.H.S. = `[(x,x^2,1+px^3),(y,y^2,1+py^3),(z,z^2,1+pz^3)]`
= `[(x,x^2,1),(y,y^2,1),(z,z^2,1)] + [(x,x^2,px^3),(y,y^2,py^3),(z,z^2,pz^3)]`
दूसरे सारणिक में R1 से x, R2 से y, R3 से z और C3 से p उभयनिष्ठ लेने पर,
= `[(x,x^2,1),(y,y^2,1),(z,z^2,1)] + pxyz[(1,x,x^2),(1,y,y^2),(1,z,z^2)]`
= `-[(x,1,x^2),(y,1,y^2),(z,1,y^2)] + pxyz[(1,x,x^2),(1,y,y^2),(1,z,z^2)]` (C2 ↔ C3)
= `[(1,x,x^2),(1,y,y^2),(1,z,y^2)] + pxyz[(1,x,x^2),(1,y,y^2),(1,z,z^2)]` (C1 ↔ C2)
= `[(1,x,x^2),(1,y,y^2),(1,z,z^2)]`[1 + pxyz]
= `[(0,x-y,x^2-y^2),(0,y-z,y^2-z^2),(1,z,z^2)]`[1 + pxyz],
`[R_1 → R_1 - R_2, R_2 → R_2 - R_3]`
= `(x-y)(y-z)[(0,1,x+y),(0,1,y+z),(1,z,z^2)]`[1 + pxyz]
= (x - y)(y - z)[-(0 - y - z) + (x + y)(0 - 1)][1 + pxyz]
= (x - y)(y - z)[y + z - x - y][1 + pxyz]
= (x - y)(y - z)(z - x)(1 + pxyz)
= (1 + pxyz) (x - y) (y - z) (z - x)
= R.H.S.
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