Advertisements
Advertisements
प्रश्न
यदि a, b, c, d गुणोत्तर श्रेणी में हैं, तो सिद्ध कीजिए कि (an + bn), (bn + cn), (cn + dn) गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
उत्तर
यह दिया गया है कि a, b, c, और d गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
∴b2 = ac … (1)
c2 = bd … (2)
ad = bc … (3)
यह सिद्ध करना होगा कि (an + bn), (bn + cn), (cn + dn) गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
(bn + cn)2 = (an + bn) (cn + dn)
बायाँ पक्ष
(bn + cn)2 = b2n + 2bncn + c2n
= (b2)n+ 2bncn + (c2) n
= (ac)n + 2bncn + (bd)n [(1) और (2) का प्रयोग करते हुए]
= an cn + bncn+ bn cn + bn dn
= an cn + bncn+ an dn + bn dn [(3) का उपयोग करते हुए]
= cn (an + bn) + dn (an + bn)
= (an + bn) (cn + dn)
= दायाँ पक्ष
∴ (bn + cn)2 = (an + bn) (cn + dn)
अतः (an + bn), (bn + cn), (cn + dn) गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
उस गुणोत्तर श्रेणी का 12वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 8वाँ पद 192 तथा सार्व अनुपात 2 है।
अनुक्रम का कौन सा पद:
`2, 2sqrt2, 4, ......; 128` है?
अनुक्रम का कौन सा पद:
`1/3, 1/9, 1/27` ,....., `1/19683` है?
x के किस मान के लिए संख्याएँ `-2/7, "x", (-7)/2` गुणोत्तर श्रेणी में हैं?
निम्नलिखित गुणोत्तर श्रेणी का योगफल निर्दिष्ट पदों तक ज्ञात कीजिए।
0.15, 0.015, 0.0015, ….., 20 पदों तक
निम्नलिखित गुणोत्तर श्रेणी का योगफल निर्दिष्ट पदों तक ज्ञात कीजिए।
`sqrt7, sqrt21, 3sqrt7, .... n` पदों तक
निम्नलिखित गुणोत्तर श्रेणी का योगफल निर्दिष्ट पदों तक ज्ञात कीजिए।
x3, x5, x7, ….. n पदों तक (यदि x ≠ ± 1)
एक गुणोत्तर श्रेणी के तीन पदों का योगफल `39/10` है तथा उनका गुणनफल 1 है। सार्व अनुपात तथा पदों को ज्ञात कीजिए।
किसी गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम तीन पदों का योगफल 16 है तथा अगले तीन पदों का योग 128 है तो गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद, सार्व अनुपात तथा n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
एक गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद a = 729 तथा 7वाँ पद 64 है तो S7 ज्ञात कीजिए?
एक गुणोत्तर श्रेणी को ज्ञात कीजिए, जिसके प्रथम दो पदों का योगफल –4 है तथा 5वाँ पद तृतीय पद का 4 गुना है।
यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का 4वाँ, 10वाँ तथा 16वाँ पद क्रमशः x, y तथा z हैं, तो सिद्ध कीजिए कि x, y, z गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
अनुक्रम 8, 88, 888, 8888, …. के n पदों का योग ज्ञात कीजिए।
अनुक्रम 2, 4, 8, 16, 32, तथा 128, 32, 8, 2, `1/2` के संगत पदों के गुणनफल से बने अनुक्रम का योगफल ज्ञात कीजिए।
दिखाइए कि अनुक्रम a, ar, ar2, … arn – 1 तथा A, AR, AR2, …. ARn – 1 के संगत पदों के गुणनफल से बना अनुक्रम गुणोत्तर श्रेणी होती है तथा सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए।
ऐसे चार पद ज्ञात कीजिए जो गुणोत्तर श्रेणी में हो, जिसका तीसरा पद प्रथम पद से 9 अधिक हो तथा दूसरा पद चौथे पद से 18 अधिक हो।
यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का pवाँ, qवाँ तथा rवाँ पद क्रमशः a, b, तथा c हो, तो सिद्ध कीजिए कि aq−r br−p cp−q = 1
यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम तथा nवाँ पद क्रमशः a तथा b हैं, एवं P, n पदों का गुणनफल हो, तो सिद्ध कीजिए कि P2 = (ab)n
ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनको 3 तथा 81 के बीच रखने पर प्राप्त अनुक्रम एक गुणोत्तर श्रेणी बन जाए।
गुणोत्तर श्रेणी के कुछ पदों का योग 315 है, उसका प्रथम पद तथा सार्व अनुपात क्रमशः 5 तथा 2 हैं। अंतिम पद तथा पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
किसी गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद 1 है। तीसरे एवं पाँचवें पदों का योग 90 हो तो गुणोत्तर श्रेणी का सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए।
यदि `("a" + "bx")/("a" - "bx") = ("b" + "cx")/("b" - "cx") = ("c" + "dx")/("c" - "dx")` (x ≠ 0) हो, तो दिखाइए कि a, b, c, d गुणोत्तर श्रेणी में है।
किसी गुणोत्तर श्रेणी में S, n पदों का योग, P उनका गुणनफल तथा R उनके व्युत्क्रमों का योग हो तो सिद्ध कीजिए कि P2Rn = Sn
यदि x2 – 3x + p = 0 के मूल a तथा b हैं तथा x2 – 12x + q = 0, के मूल c तथा d हैं, जहाँ a, b, c, d गुणोत्तर श्रेणी के रूप में हैं। सिद्ध कीजिए कि (q + p) : (q – p) = 17 : 15
