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Question
यदि a, b, c, d गुणोत्तर श्रेणी में हैं, तो सिद्ध कीजिए कि (an + bn), (bn + cn), (cn + dn) गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
Solution
यह दिया गया है कि a, b, c, और d गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
∴b2 = ac … (1)
c2 = bd … (2)
ad = bc … (3)
यह सिद्ध करना होगा कि (an + bn), (bn + cn), (cn + dn) गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
(bn + cn)2 = (an + bn) (cn + dn)
बायाँ पक्ष
(bn + cn)2 = b2n + 2bncn + c2n
= (b2)n+ 2bncn + (c2) n
= (ac)n + 2bncn + (bd)n [(1) और (2) का प्रयोग करते हुए]
= an cn + bncn+ bn cn + bn dn
= an cn + bncn+ an dn + bn dn [(3) का उपयोग करते हुए]
= cn (an + bn) + dn (an + bn)
= (an + bn) (cn + dn)
= दायाँ पक्ष
∴ (bn + cn)2 = (an + bn) (cn + dn)
अतः (an + bn), (bn + cn), (cn + dn) गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
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