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प्रश्न
यदि x2 – 3x + p = 0 के मूल a तथा b हैं तथा x2 – 12x + q = 0, के मूल c तथा d हैं, जहाँ a, b, c, d गुणोत्तर श्रेणी के रूप में हैं। सिद्ध कीजिए कि (q + p) : (q – p) = 17 : 15
उत्तर
यह दिया गया है कि a और b, x2 – 3x + p = 0 की मूल हैं
∴ a + b = 3 और ab = p … (1)
साथ ही, c और d, x2 – 12x + q = 0 के मूल हैं
∴ c + d = 12 और cd = q … (2)
यह दिया गया है कि a, b, c, d गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
मान लीजिए a = x, b = xr, c = xr2, d = xr3
(1) और (2) से, हम प्राप्त करते हैं
x + xr = 3
⇒ x (1 + r) = 3
xr2 + xr3 =12
⇒ xr2 (1 + r) = 12
विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है
`(x^2 (1 + r))/(x (1 + r)) = (12)/(3)`
= r2 = 4
= r = ±2
जब r = 2, `x = 3/(1 + 2) = 3/2 = 1`
जब r = -2, `x = 3/(1 - 2) = 3/(-1) = -3`
स्थिति I:
जब r = 2 और x = 1
ab = x2 r = 2
cd = x2 r5 = 32
∴ `(q + p)/(q - p) = (32 + 2)/(32 - 2) = 34/30 = 17/15`
यानी, (q + p) : (q - p) = 17 :15
स्थिति II:
जब r = -2, x = -3
ab = x2 r = -18
cd = x2 r5 = -288
∴ `(q + p)/(q - p) = (-288 - 18)/(-288 + 18) = (-306)/(-270) = 17/15`
यानी, (q + p) : (q - p) = 17 : 15
इस प्रकार, दोनों स्थितियों में, हमें (q + p) : (q − p) = 17 : 15 प्राप्त होता है।
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