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प्रश्न
यदि a, b, c तथा d गुणोत्तर श्रेणी में हैं तो दिखाइए कि (a2 + b2 + c2) (b2 + c2 + d2) = (ab + bc + cd)2
उत्तर
a, b, c, d गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
इसलिए
bc = ad … (1)
b2 = ac … (2)
c2 = bd … (3)
यह सिद्ध करना होगा कि,
(a2 + b2 + c2) (b2 + c2 + d2) = (ab + bc – cd)2
दायाँ पक्ष
= (ab + bc + cd)2
= (ab + ad + cd)2 [(1) का उपयोग करते हुए]
= [ab + d (a + c)]2
= a2b2 + 2abd (a + c) + d2 (a + c)2
= a2b2 +2a2bd + 2acbd + d2(a2 + 2ac + c2)
= a2b2 + 2a2c2 + 2b2c2 + d2a2 + 2d2b2 + d2c2 [(1) और (2) का प्रयोग करते हुए]
= a2b2 + a2c2 + a2c2 + b2c2 + b2c2 + d2a2 + d2b2 + d2b2 + d2c2
= a2b2 + a2c2 + a2d2 + b2 × b2 + b2c2 + b2d2 + c2b2 + c2 × c2 + c2d2
((2) और (3) का प्रयोग और शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करना)
= a2(b2 + c2 + d2) + b2 (b2 + c2 + d2) + c2 (b2+ c2 + d2)
= (a2 + b2 + c2) (b2 + c2 + d2)
= बायाँ पक्ष
∴ बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष
∴ (a2 + b2 + c2) (b2 + c2 + d2) = (ab + bc + cd)2.
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