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प्रश्न
यदि |z + 1| = z + 2(1 + i) है, तो z ज्ञात कीजिए।
उत्तर
पता है कि, |z + 1| = z + 2(1 + i)
मानो, z = x + iy
डालो फिर, |x + iy + 1| = (x + iy) + 2(1 + i)
⇒ |(x + 1) + iy| = x + iy + 2 + 2i
⇒ |(x + 1) + iy| = (x + 2) + (y + 2)i
⇒ `sqrt((x + 1)^2 + y^2)` = (x + 2) + (y + 2)i ......`[because |x + iy| = sqrt(x^2 + y^2)]`
दोनों बाजू का वर्गमूल निकालने पर, हमें मिला,
(x + 1)2 + y2 = (x + 2)2 + (y + 2)2 .i2 + 2(x + 2)(y + 2)i
⇒ x2 + 1 + 2x + y2 = x2 + 4 + 4x – y2 – 4y – 4 + 2(x + 2)(y + 2)i
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करें,
x2 + 1 + 2x + y2 = x2 + 4x – y2 – 4y और 2(x + 2)(y + 2) = 0
⇒ 2y2 – 2x + 4y + 1 = 0 ......(i)
और (x + 2)(y + 2) = 0 .....(ii)
x + 2 = 0 or y + 2 = 0
∴ x = –2 or y = –2
अब X = –2 समीकरण (i) में डालें।
2y2 – 2 × (–2) + 4y + 1 = 0
⇒ 2y2 + 4 + 4y + 1 = 0
⇒ y2 + 4y + 5 = 0
b2 – 4ac = (4)2 – 4 × 2 × 5
16 – 40 = –24 < 0 कोई वास्तविक जड़ें नहीं।
समीकरण (i) में y = –2 डालें,
2(–2)2 – 2x + 4(–2) + 1 = 0
8 – 2x – 8 + 1 = 0
⇒ x = `1/2` और y = –2
इसलिए, z = x + iy = `(1/2 - 2i)`
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