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Question
AC और BD एक वृत्त की जीवाएँ हैं जो परस्पर समद्विभाजित होती हैं। सिद्ध कीजिए:
(I) AC और BD व्यास हैं,
(Ii) ABCD एक आयत है।
Solution
मान लीजिए कि दो जीवाएँ AB और CD एक दूसरे को बिंदु O पर काट रही हैं।
In ΔAOB तथा ΔCOD,
OA = OC (दिया गया)
OB = OD (दिया गया)
∠AOB = ∠COD (लंबवत विपरीत कोण)
ΔAOB ≅ ΔCOD (SAS सर्वांगसमता नियम)
AB = CD (By CPCT)
इसी प्रकार, यह सिद्ध किया जा सकता है कि ΔAOD ≅ ΔCOB
∴ AD = CB (By CPCT)
चूँकि चतुर्भुज ACBD में, सम्मुख भुजाएँ लंबाई में बराबर होती हैं, ACBD एक समांतर चतुर्भुज है।
हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
∴ ∠A = ∠C
हालाँकि, A + C = 180° (ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है)
⇒ ∠A + ∠A = 180°
⇒ 2 ∠A = 180°
⇒ ∠A = 90°
चूँकि ACBD एक समांतर चतुर्भुज है और इसका एक आंतरिक कोण 90° का है, इसलिए यह एक आयत है।
∠A जीवा BD द्वारा अंतरित कोण है। और चूँकि ∠A = 90° है, इसलिए BD वृत्त का व्यास होना चाहिए। इसी प्रकार, AC वृत्त का व्यास है।
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