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Question
गणितीय आगमन के सिद्धान्त के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि सभी धन पूर्णांक n के लिए `"d"/"dx" (x^"n")` = nxn-1 है।
Solution
`"d"/"dx" (x^"n") = "nx"^("n - 1")`
`therefore"P"("n") : "d"/"dx" (x^"n") = "nx"^("n - 1")` (माना) ...(1)
n = 1 रखने पर,
`"d"/"dx" (x) = 1x^(1 - 1)`
∴ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
माना x = k के लिए P(n) सत्य है।
∴ `"d"/"dx" (x^"k") = "kx"^("k" - 1)` सत्य है।
अब P(k + 1) : `"d"/"dx" (x^(k + 1)) = ("k + 1")x^"k"`
∴ L.H.S. = `"d"/"dx" (x * x^"k"), ...[because x^("k + 1") = x^1 * x^"k"]`
`= 1 * x^"k" + x("k" * x^("k - 1")) ...[because "यह सत्य है कि" "d"/"dx" (x^"k") = "kx"^("k - 1")]`
`= x^"k" + "k" * x^"k" = x^"k" ("k + 1")` = R.H.S.
∴ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
⇒ P(n), n = 1, 2, 3,….. सभी धन पूर्णांकों के लिए सत्य है।
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