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Question
मान लीजिए कि A = `[(0, 1), (0, 0)]` हो तो दिखाइए कि सभी n ∈ N के लिए (aI + bA)n = anI + nan - 1bA, जहाँ I कोटि 2 का तत्समक आव्यूह है।
Solution
A = `[(0, 1), (0, 0)]`, I = `[(1, 0), (0, 1)]`
L.H.S. = (aI + bA)n
= `[a((1, 0), (0, 1)) + b((0, 1), (0, 0))]^n`
= `[((a, 0), (0, a)) + ((0, b), (0, 0))]^n = ((a, b), (0, a))^n`
R.H.S. = anI + nan - 1bA
= `a^n((1, 0), (0, 1)) + na^{n - 1}b((0, 1), (0, 0))`
= `((a^n, 0), (0, a^n)) + ((0, na^{n - 1} b), (0, 0)) = ((a^n, na^{n - 1}b), (0, a^n))`
सिद्ध करना है कि `[(a, b), (0, a)]^n = [(a^n, na^{n - 1}b), (0, a^n)]`
गणितीय आगमन द्वारा,
माना P(n) : `[(a,b), (0,a)]^n = [(a^n, na^{n - 1}b),(0,a^n)]`
n = 1 रखने पर,
L.H.S. = `[(a, b), (0, a)]`
R.H.S. = `[(a, 1.1b), (0, a)] = [(a, b), (0, a)]`
∴ L.H.S. = R.H.S.
n = 1 के लिए P(n) सत्य है -
माना n = k के लिए P(n) सत्य है।
अतः `[(a, b), (0, a)]^k = [(a^k, ka^{k - 1}b), (0, a^k)]`
दोनों ओर `[(a, b), (0, a)]` से गुणा करने पर,
L.H.S. = `[(a, b), (0, a)]^k[(a, b), (0, a)] = [(a,b), (0,a)]^{k + 1}`
R.H.S. = `[(a^k, ka^{k - 1}b), (0, a^k)][(a, b), (0, a)]`
= `[(a^k xx a, a^kb + ka^{k - 1}b xx a), (0, a^k xx a)]`
= `[(a^{k + 1}, (k + 1)a^kb), (0, a^{k + 1})]`
∴ `[(a,b), (0,a)]^{k + 1} = [(a^{k + 1}, (k + 1)a^kb), (0, a^{k + 1})]`
इसलिए गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N के सभी मानों के लिए सत्य है।
⇒ `[(a, b), (0, a)]^n = [(a^n, na^{n - 1}b), (0, a^n)]`
∴ (aI + bA)n = anI + nan - 1bA
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