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Question
सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके निम्नलिखित प्रश्न को सिद्ध कीजिए:
`[(3a,-a + b, -a + c),(-b + a, 3b, -b + c),(-c + a, -c + b, 3c)]` = 3(a + b + c)(ab + bc + ca)
Solution
L.H.S. = `[(3a,-a + b, -a + c),(-b + a, 3b, -b + c),(-c + a, -c + b, 3c)]`
= `[(a+b+c,-a+b,-a+c),(a + b + c, 3b, -b + c),(a + b + c, -c + b, 3c)]`, [C1 → C1 + C2 + C3]
= (a + b + c)`[(1,-a + b,-a + c),(1,3b,-b + c),(1,-c + b,3c)]`
= (a + b + c)`[(1,-a+b,-a+c),(0,2b + a, a - b),(0,a - c, 2c + a)]`
[R1 → R2 – R1 तथा R3 → R3 – R1]
= (a + b + c)[1{(2b + a)+ (2c + a) - (a - b)(a - c)}]
= (a + b + c)[4bc + 2ab + 2ac + a2 - (a2 - ac - ab + bc)]
= (a + b + c)[4bc + 2ab + 2ac + a2 - a2 + ac + ab - bc]
= (a + b + c)(3bc + 3ab + 3ac]
= 3 (a + b + c) (ab + bc + ca) = R.H.S.
अतः L.H.S. = R.H.S.
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