Advertisements
Advertisements
Question
सिद्ध कीजिए कि a ≥ 1 के लिए f (x) = `sqrt3` sinx - cosx - 2ax + b, R में हासमान फलन है।
Solution
दिया गया है कि: f(x) = `sqrt(3)` sinx – cosx – 2ax + b, a ≥ 1
दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. x हमें मिलता है,
f'(x) = `sqrt(3) cos x + sin x - 2"a"`
घटते फलन के लिए, f'(x) < 0
∴ `sqrt(3) cos x + sin x - 2"a" < 0`
⇒ `2(sqrt(3)/2 cos x + 1/2 sin x) - 2"a" < 0`
⇒ `sqrt(3)/2 cos x + 1/2 sin x - "a" < 0`
⇒ `(cos pi/6 cos x + sin pi/6 sin x) - "a" < 0`
⇒ `cos(x - pi/6) - "a " < 0`
क्योंकि cos x ∈ [– 1, 1] और a ≥ 1
∴ f'(x) < 0
अत: R में दिया गया फलन घट रहा है।
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
सिद्ध कीजिए कि f (x) = `(log x)/x` द्वारा प्रदत्त फलन x = e पर उच्चतम है।
`pi/4` अर्ध शीर्ष कोण वाले एक शांकवीय कीप (funnel) से, जिसकां शीर्ष नीचे की ओर है, कीप के पृष्ठ के क्षेत्रफल में 2cm2/sec की समान दर से उसके शीर्ष के एक छिद्र से पानी बह रहा है। पानी के सतह की तिर्यक ऊँचाई के घटने की दर उस समय ज्ञात कीजिए जब उसकी तिर्यंक ऊँचाई 4cm है।
वक्र y2 = x तथा x2 = y के बीच का प्रतिच्छेद - कोण ज्ञात कीजिए।
अवकलों के प्रयोग द्वारा `sqrt(0.082)` का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।
वक्रों `x^2/"a"^2 - y^2/"b"^2` = 1 तथा xy = c2 के लम्बकोणीय प्रतिच्छेदन के लिए प्रतिबंध ज्ञात कीजिए।
वक्र y = cos (x + y), –2π ≤ x ≤ 2π, की उन सभी स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा x + 2y = 0 के समांतर हैं।
उस महत्तम आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जो दीर्घवृत्त `x^2/a^2 + y^2/b^2` = 1 के अंतर्गत स्थित है।
मान लीजिए कि c पर f का द्वितीय अवकलज है, इस प्रकार कि f ′(c) = 0 तथा f ″(c) > 0, तो c पर फलन ______ है।
(1.999)5 का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।
एक खोखले बेलनाकार खोल, जिसकी आंतरिक तथा बाह्य त्रिज्याएँ क्रमश: 3 cm तथा 3.0005 cm हैं, में धातु के आयतन का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।
2m लंबा एक मनुष्य 1`2/3` m/s की दर से किसी बिजली के खंभे की ओर, जो जमीन से 5`1/3`m ऊपर है, चल रहा है। उसकी छाया का अग्रभाग किसी दर से गतिमान है? उसकी छाया की लंबाई, उस समय किस दर से परिवर्तित हो रही है, जब वह प्रकाश के स्रोत के आधार से 3`1/3`m दूर है?
x तथा y दो वर्गों की भुजाएँ हैं, इस प्रकार कि y = x – x2 दूसरे वर्ग के क्षेत्रफल में परिवर्तनकी दर पहले वर्ग के क्षेत्रफल के सापेक्ष ज्ञात कीजिए।
सिद्ध किजिए कि f (x) = tan–1(sinx + cosx), अतंराल 0,`pi/4` में एक वर्धमान फलन है।
फलन f (x) = x5 – 5x4 + 5x3 – 1 के स्थानीय उच्चिष्ठ, स्थानीय निम्निष्ठ तथा नति परिवर्तन के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए। साथ ही संगत स्थानीय उच्चतम तथा स्थानीय निम्नतम मानों को भी ज्ञात कीजिए।
किसी नगर में एक टेलीफोन कंपनी की सूची में 500 ग्राहक हैं और वह प्रत्येक ग्राहक से प्रतिवर्ष 300 रु निश्चित शुल्क वसूलती हैं। कंपनी वार्षिक शुल्क बढ़ाना चाहती है, और ऐसा माना जाता है कि प्रत्येक 1 रु की वृद्धि करने पर एक ग्राहक टेलीफोन सेवा लेना समाप्त कर देगा।ज्ञात कीजिए कि कितनी वृद्धि करने से महत्तम (उच्चतम) लाभ होगा।
यदि सरल रेखा x cosα + y sinα = p वक्र `x^2/"a"^2 + y^2/"b"^2` = 1 को स्पर्श करती है, तो सिद्ध कीजिए कि a2 cos2α + b2 sin2α = p2
36 cm परिमाप वाले आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए जिसे उसकी भुजाओं में से किसी एक के चारों ओर घुमाने पर अधिक से अधिक सम्भव आयतन प्रसर्प (sweep) हो।
यदि वक्र ay + x2 = 7 तथा x3 = y बिंदु (1, 1) पर लंबवत काटते हैं, तो a का मान है ______
यदि y = x4 – 10 तथा यदि x, 2 से 1.99 तक परिवर्तित होता है, तो y का परिवर्तन क्या (कितना) है,
वक्र y (1 + x2 ) = 2 – x के, उस बिंदु पर, जहाँ यह x-अक्ष को काटती है, स्पर्श रेखा का समीकरण ______
फलन f(x) = 4 sin3x – 6 sin2x + 12 sinx + 100 ______
यदि x एक वास्तविक संख्या है, तो x2 – 8x + 17 का निम्नतम मान ______
बहुपद x3 – 18x2 + 96x का, अंतराल [0, 9] में, निम्नतम मान ______
f(x) = xx का स्तब्ध बिंदु है ______
वक्र y = tanx के (0, 0) पर अभिलंब का समीकरण ______ है।
a के वे मान जिनके लिए फलन f (x) = sinx – ax + b, R में वर्धमान है ______ .हैं।
फलन f(x) = `"a"x + "b"/x` (a > 0, b > 0, x > 0) का निम्नतम मान ______ है।
