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Question
सिद्ध किजिए कि f (x) = tan–1(sinx + cosx), अतंराल 0,`pi/4` में एक वर्धमान फलन है।
Solution
दिया गया है: f(x) = tan–1(sinx + cosx)` (0, pi/4)` में
दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. x, हमें मिलता है
f'(x) = `1/(1 + (sin x + cos x)^2) * "d"/"dx" (sinx + cos x)`
⇒ f'(x) = `(1 xx (cos x - sinx))/(1 + (sinx + cosx)^2`
⇒ f'(x) = `(cosx - sinx)/(1 + sin^2x + cos^2x + 2 sin x cos x)`
⇒ f'(x) = `(cosx - sinx)/(1 + 1 + 2 sinx cosx)`
⇒ f'(x) = `(cosx - sinx)/(2 + 2 sinx cosx)`
बढ़ते फलन के लिए f '(x) ≥ 0
∴ `(cosx - sinx)/(2 + 2 sinx cosx) ≥ 0`
⇒ cos x – sin x ≥ 0 ....`["क्योंकि" (2 + sin2x) ≥ "में" (0, pi/4)]`
⇒ cos x ≥ sin x, जो `(0, pi/4)` के लिए सत्य है
इसलिए, दिया गया फलन f f(x) `(0, pi/4)` में एक बढ़ता हुआ फलन है।
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