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Question
यदि किसी वृत्त का क्षेत्रफल एक समान दर से बढ़ता है, तो सिद्ध कीजिए कि उसका परिमाप (परिधि) उसकी त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती होता है
Solution
माना किसी भी समय वृत्त की त्रिज्या r है।
तब किसी भी समय वृत्त का क्षेत्रफल t पर A = πr2 होता है।
∴ `"d"/"dt" "A" = "d"/"dt"(pi"r"^2)`
⇒ `"dA"/"dt" = 2pi"r" * "dr"/"dt"` ......(i)
क्योंकि एक वृत्त का क्षेत्रफल एकसमान दर से बढ़ता है,
हमारे पास `"dA"/"dt"` = k, है, जहाँ k एक स्थिरांक है ......(ii)
(i) और (ii) से, हम प्राप्त करते हैं
`2pi"r" * "dr"/"dt"` = k
⇒ `"dr"/"dt" = "k"/(2pi"r") = "k"/(2pi) * (1/"r")`
⇒ `2pi "dr"/"dt" = "k"/"r"`
⇒ `("d"(2pi"r"))/"dt" = "k"/"r"`
⇒ `"dP"/"dt" = "k"/"r"`, जहाँ P = 2πr
⇒ `"dP"/"dt" oo 1/"r"`
इस प्रकार परिमाप त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
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