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प्रश्न
यदि किसी वृत्त का क्षेत्रफल एक समान दर से बढ़ता है, तो सिद्ध कीजिए कि उसका परिमाप (परिधि) उसकी त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती होता है
उत्तर
माना किसी भी समय वृत्त की त्रिज्या r है।
तब किसी भी समय वृत्त का क्षेत्रफल t पर A = πr2 होता है।
∴ `"d"/"dt" "A" = "d"/"dt"(pi"r"^2)`
⇒ `"dA"/"dt" = 2pi"r" * "dr"/"dt"` ......(i)
क्योंकि एक वृत्त का क्षेत्रफल एकसमान दर से बढ़ता है,
हमारे पास `"dA"/"dt"` = k, है, जहाँ k एक स्थिरांक है ......(ii)
(i) और (ii) से, हम प्राप्त करते हैं
`2pi"r" * "dr"/"dt"` = k
⇒ `"dr"/"dt" = "k"/(2pi"r") = "k"/(2pi) * (1/"r")`
⇒ `2pi "dr"/"dt" = "k"/"r"`
⇒ `("d"(2pi"r"))/"dt" = "k"/"r"`
⇒ `"dP"/"dt" = "k"/"r"`, जहाँ P = 2πr
⇒ `"dP"/"dt" oo 1/"r"`
इस प्रकार परिमाप त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
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