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प्रश्न
बहुपद x3 – 18x2 + 96x का, अंतराल [0, 9] में, निम्नतम मान ______
विकल्प
126
0
135
160 है।
उत्तर
बहुपद x3 – 18x2 + 96x का, अंतराल [0, 9] में, निम्नतम मान 0 है।
व्याख्या:
माना f(x) = x3 – 18x2 + 96x
तो, f'(x) = 3x2 – 36x + 96
स्थानीय उच्चिष्ठ और स्थानीय न्यूनतम f'(x) = 0 के लिए
∴ 3x2 – 36x + 96 = 0
⇒ x2 – 12x + 32 = 0
⇒ x2 – 8x – 4x + 32 = 0
⇒ x(x – 8) – 4(x – 8) = 0
⇒ (x – 8)(x – 4) = 0
∴ x = 8, 4 ∈ [0, 9]
तो, x = 4, 8 स्थानीय उच्चिष्ठ और स्थानीय निम्निष्ठ के बिंदु हैं।
अब हम x = 0, 4, 8, 9 पर निरपेक्ष उच्चिष्ठ या निरपेक्ष न्यूनतम की गणना करेंगे।
∴ f(x)= x3 – 18x2 + 96x
`"f"(x)_(x = 0)` = 0 – 0 + 0 = 0
`"f"(x)_(x = 4)` = (4)3 – 18(4)2 + 96(4)
= 64 – 288 + 384
= 448 – 288
= 160
`"f"(x)_(x = 8)` = (8)3 – 18(8)2 + 96(8)
= 512 – 1152 + 768
= 1280 – 1152
= 128
`"f"(x)_(x = 9)` = (9)3 – 18(9)2 + 96(9)
= 729 – 1458 + 864
= 1593 – 1458
= 135
अत: x = 0 पर f का निरपेक्ष न्यूनतम मान 0 है।
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