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प्रश्न
दो वक्र x3 – 3xy2 + 2 = 0 तथा 3x2 y – y3 – 2 = 0 किस कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं:
विकल्प
`pi/4`
`pi/3`
`pi/2`
`pi/6`
उत्तर
सही उत्तर `underline(pi/2)`है।
व्याख्या:
दिए गए वक्र हैं x3 – 3xy2 + 2 = 0 .....(i)
और 3x2y – y3 – 2 = 0 ......(ii)
विभेदक समीकरण (i) w.r.t. x, हमें मिलता है
`3x^2 - 3 * (x * 2y "dy"/"dx" + y^2 * 1)` = 0
⇒ `x^2 - 2xy "dy"?'dx" - y^2` = 0
⇒ `2xy "dy"/"dx"` = x2 – y2
∴ `"dy"/"dx" = (x^2 - y^2)/(2xy)`
अतः वक्र का ढाल m1 = `(x^2 - y^2)/(2xy)`
विभेदक समीकरण (ii) w.r.t. x, हमें मिलता है
`3[x^2 "dy"/"dx" + y * 2x] - 3y^2 * "dy"/"dx"` = 0
`x^2 "dy"/"dx" + 2xy - y^2 "dy"/"dx"` = 0
⇒ `(x^3 - y^2) "dy"/"dx"` = – 2xy
∴ `"dy"/"dx" = (-2xy)/(x^2 - y^2)`
तो वक्र का ढलान m2 = `(-2xy)/(x^2 - y^2)`
अब m1 × m2 = `(x^2 - y^2)/(2xy) xx (-2xy)/(x^2 - y^2)` = – 1
अतः वक्रों के बीच का कोण `pi/2` है।
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