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प्रश्न
एक क्षैतिज फर्श पर 5 मीटर लंबी एक सीढ़ी किसी ऊर्ध्वाधर दीवार पर झुकी है।यदि सीढ़ी का ऊपरी सिरा 10 cm/sec, की दर से नीचे की ओर फिसल रहा है तो सीढ़ी तथा फर्श के बीच का कोण, उस समय जब सीढ़ी का निचला सिरा दीवार से 2 मीटर दूर है:
विकल्प
`1/10` radian/sec
`1/20` radian/sec
20 radian/sec
10` radian/sec
उत्तर
सही उत्तर `underline(1/20 "radian/sec")` है।
व्याख्या:
सीढ़ी की लंबाई = 5 m
माना AB = y m and BC = x m
∴ दायीं ओर ΔABC में,
AB2 + BC2 = AC2
⇒ x2 + y2 = (5)2
⇒ x2 + y2 = 25
दोनों पक्षों को w.r.t x, में विभेदित करते हुए, हमारे पास है
`2x * "dx"/"dt" + 2y * "dy"/"dt"` = 0
⇒ `x "dx"/"dt" + y * "dy"/"dt"` = 0
⇒ `2 * "dx"/"dt" + y xx (-0.1)` = 0 ....[∵ x = 2m]
⇒ `2 * "dx"/"dt" + sqrt(25 - x^2) xx (-0.1)` = 0
⇒ `2 * "dx"/"dt" + sqrt(25 - 4) xx (-0.1)` = 0
⇒ `2 * "dx"/"dt" - sqrt(21)/10` = 0
⇒ `"dx"/"dt" = sqrt(21)/20`
अब cos θ = `"BC"/"AC"` ....(θ radian में है)
⇒ cos θ = `x/5`
दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. t, हमें मिलता है
`"d"/"dt" cos theta = 1/5 * "dx"/"dt"`
⇒ `- sin theta ("d"theta)/"dt" = 1/5 * sqrt(21)/20`
⇒ `("d"theta)/"dt" = sqrt(21)/100 xx (- 1/sin theta)`
= `sqrt(21)/100 xx -(1/("AB"/"AC"))`
= `- sqrt(21)/100 xx "AC"/"AB"`
= `- sqrt(21)/100 xx 5/sqrt(21)`
= `- 1/20` radian/sec
[(–) चिन्ह कोण के परिवर्तन में कमी दर्शाता है]
इसलिए, अभीष्ट दर = `1/20` radian/sec
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