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प्रश्न
फलन f(x) = 4 sin3x – 6 sin2x + 12 sinx + 100 ______
विकल्प
`(pi, (3pi)/2)` में निरंतर वर्धमान है।
`(pi/2, pi)` में निंरतर हासमान है।
`(-pi)/2, pi/2` में निंरतर हासमान है।
`0,pi/2` में निंरतर हासमान है।
उत्तर
फलन f(x) = 4 sin3x – 6 sin2x + 12 sinx + 100 `underline((pi/2, pi) "में निंरतर हासमान है"।)`
व्याख्या:
यहाँ, f(x) = 4 sin3x – 6 sin2x + 12 sin x + 100
f'(x) = 12 sin2x · cos x – 12 sin x cos x + 12 cos
= 12 cos x [sin2x – sin x + 1]
= 12 cos x [sin2x + (1 – sin x)]
∵ 1 – sin x ≥ 0 और sin2x ≥ 0
∴ sin2x + 1 – sin x ≥ 0 .....(जब cos x > 0)
इसलिए, f'(x) > 0, जब cos x > 0 अर्थात `x ∈ ((-pi)/2, pi/2)`
तो, f(x) बढ़ रहा है जहाँ `x ∈ ((-pi)/2, pi/2)` तथा f'(x) < 0
जहाँ cos x < 0 अर्थात `x ∈ (pi/2, (3pi)/2)`
इसलिए, (x) घट रहा है जब `x ∈ (pi/2, (3pi)/2)`
जैसे `(pi/2, pi) ∈ (pi/2, (3pi)/2)`
तो `(pi/2, pi)` में f(x) घट रहा है।
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