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प्रश्न
वक्र y = cos (x + y), –2π ≤ x ≤ 2π, की उन सभी स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा x + 2y = 0 के समांतर हैं।
उत्तर
दिया हुआ है कि y = cos(x + y)
⇒ `"dy"/"dx" = - sin(x + y) [1 + "dy"/"dx"]` ....(i)
या `"dy"/"dx" = - (sin(x + y))/(1 + sin(x + y))`
क्योंकि स्पर्श रेखा x + 2y = 0, के समांतर है, इसलिए स्पर्श रेखा की प्रवणता = `- 1/2`
इसलिए, `- (sin(x + y))/(1 + sin(x + y)) = - 1/2`
⇒ sin(x + y) = 1 .....(ii)
क्योंकि cos(x + y) = y तथा sin(x + y) = 1
⇒ cos2(x + y) + sin2(x + y) = y2 + 1
⇒ 1 = y2 + 1 or y = 0.
इसलिए, cosx = 0.
इसलिए, x = `(2"n" + 1) pi/2`, n = 0, ± 1, ± 2...
अत:, x = `+- pi/2, +- (3pi)/2`, परंतु x = `pi/2`, x = `(-3pi)/2` समीकरण (ii) को संतुष्ट करते हैं।
अत: `(pi/2, 0), ((-3pi)/2, 0)` उपयुक्त बिंदु है।
इस प्रकार, पर स्पर्श रेखा का समीकरण `(pi/2, 0)` या y = `- 1/2(x - pi/2)`
या 2x + 4y – π = 0, तथा पर स्पर्श रेखा का समीकरण `((-3pi)/2, 0)` या y = `- 1/2(x + (3pi)/2)`
या 2x + 4y + 3π = 0.
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