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प्रश्न
एक सर्वसम भारी झूलते पुल की केबिल (cable) परवलय के रूप में लटकी हुई है। सड़क पथ जो क्षैतिज है 100 मीटर लंबा है तथा केबिल से जुड़े ऊर्ध्वाधर तारों पर टिका हुआ है, जिसमें सबसे लंबा तार 30 मीटर और सबसे छोटा तार 6 मीटर है। मध्य से 18 मीटर दूर सड़क पथ से जुड़े समर्थक (supporting) तार की लंबाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर
मान लीजिए AOB सर्वसम भारी झूलते पुल की केबिल है। माना कि AL और BM सबसे लंबे तार हैं, प्रत्येक की लंबाई 30 मीटर है। माना OC 6 मीटर लंबाई का सबसे छोटा तार है और LM सड़क पथ है।
अब AL = BM = 30 मीटर, OC = 6 मीटर और LM = 100 मीटर
∴ LC = CM = `1/2` LM = 50 मीटर
माना कि O शीर्ष है और परवलय का अक्ष y-अक्ष है। तो, मानक रूप में परवलय का समीकरण x2 = 4ay है
बिंदु B के निर्देशांक (50, 24) हैं
चूँकि बिंदु B परवलय पर स्थित है, x2 = 4ay
∴ (50)2 = 4a × 24
⇒ a = `2500/(4 xx 24)`
= `625/6`
तो, परवलय का समीकरण है
x2 = `(4 xx 625)/24 y` = x2 = `625/6 y`
माना 18 मीटर की दूरी पर सहायक तार PQ की लंबाई h है।
∴ OR = 18 मीटर और PR = PQ - QR = h - 6.
बिंदु P के निर्देशांक (18, h - 6) हैं
चूँकि बिंदु P परवलय x2 = `625/6 y` पर स्थित है
∴ (18)2 = `625/6 (h - 6)`
= 324 × 6 = 625h - 3750
= 625h = 1944 + 3750
= h = `5694/625`
तार की लंबाई = 9.11 मीटर लगभग.
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