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प्रश्न
यदि A = `[(1,sintheta,1),(-sintheta,1,sintheta),(-1,-sintheta,1)]`, जहाँ 0 ≤ θ ≤ 2π हो तो ______.
विकल्प
det (A) = 0
det (A) ∈ (2, ∞)
det (A) ∈ (2, 4)
det (A) ∈ [2, 4]
उत्तर
यदि A = `[(1,sintheta,1),(-sintheta,1,sintheta),(-1,-sintheta,1)]`, जहाँ 0 ≤ θ ≤ 2π हो तो det (A) ∈ [2, 4].
स्पष्टीकरण:
माना A = `[(1,sintheta,1),(-sintheta,1,sintheta),(-1,-sintheta,1)]`
∴ |A| = `[(1,sintheta,1),(-sintheta,1,sintheta),(-1,-sintheta,1)]`
= 1[1 + sin2θ] - sinθ[-sinθ + sinθ] + 1[sin2θ + 1]
= `1 + sin^2theta + sin^2theta + 1`
= `2 + 2sin^2theta = 2(1 + sin^2theta)`
जब θ = 0, π, 2π तो sinθ = 0
⇒ |A| = 2
जब `theta = pi/2, (3pi)/2` तो sin2θ = 1,
|A| = 2(1 + 1) = 2 × 2 = 4
∴ det A ∈ [2, 4]
अतः विकल्प det (A) ∈ [2, 4] सही है।
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