Advertisements
Advertisements
प्रश्न
अवकल समीकरण `(1 + y^2) + (x - "e"^(tan - 1y)) "dy"/"dx"` = 0 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
उत्तर
दिया गया समीकरण `(1 + "y"^2) + (x - "e"^(tan^(-1) "y")) "dy"/"dx"` = 0 है।
⇒ `(x - "e"^(tan^-1"y")) "dy"/"dx" = -(1 + "y"^2)`
⇒ `"dy"/"dx" = (-(1 + "y"^2))/(x - "e"^(tan^-1 "y"))`
⇒ `"dx"/"dy" = (x - "e"^(tan^-1"y"))/(-(1 + "y"^2))`
⇒ `"dx"/"dy" = - x/((1 + "y"^2)) + ("e"^(tan^-1"y"))/(1 + "y"^2)`
⇒ `"dx"/"dy" + x/((1 + "y"^2)) = ("e"^(tan^-1 "y"))/(1 + "y"^2)`
यहाँ, P = `1/(1 + "y"^2)` तथा Q = `("e"^(tan^-1 "y"))/(1 + "y"^2)`
∴ समाकलन गुणक I.F. = `"e"^(int "Pdy")`
= `"e"^(int 1/(1 + "y"^2) "dy")`
= `"e"^(tan^-1 "y")`
∴ हल `x . "I"."F". = int "Q". "I"."F". "dy" + "c"` है।
⇒ `x . "e"^(tan^-1 "y") = int ("e"^(tan^-1 "y"))/(1 + "y"^2) * "e"^(tan^-1 "y") "dy" + "c"`
`"e"^(tan^-1 "y")` = t रखिए
∴ `"e"^(tan^-1 "y") * 1/(1 + "y"^2) "dy"` = dt
∴ `x . "e"^(tan^-1 "y") = int "t" . "dt" + "c"`
⇒ `x . "e"^(tan^-1 "y") = 1/2 "t"^2 + "c"`
⇒ `x . "e"^(tan^-1 "y") = 1/2 ("e"^(tan^-1 "y"))^2 + "c"`
⇒ x = `1/2 ("e"^(tan^-1 "y")) + "c"/("e"^(tan^-1 "y"))`
⇒ 2x = `"e"^(tan^-1 "y") + (2"c")/("e"^(tan^-1 "y")`
⇒ `2x . "e"^(tan^-1 "y") = ("e"^(tan^-1"y"))^2 + 2"c"`
इसलिए, यह वाँछित सामान्य हल है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-
`(x + 3y^2) dy/dx = y, (y > 0)`
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए-
`(1 + x^2) dy/dx + 2xy = 1/(1 + x^2); y = 0` यदि x = 1
उस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके मूल बिंदु के अतिरिक्त किसी अन्य बिंदु पर स्पर्श रेखा की प्रवणता `"y" + "y"/x` है।
`x^2 "dy"/"dx" - x"y" = 1 + cos("y"/x)`, x ≠ 0 तथा जब x = 1 तब y = `pi/2` है को हल कीजिए।
बताइए कि समीकरण xdy – ydx = `sqrt(x^2 + "y"^2) "d"x` किस प्रकार का अवकल समीकरण है तथा इसे हल कीजिए।
अवकल समीकरण `(1 + "dy"/"dx")^3 = (("d"^2y)/("d"x^2))^2` की घात है
अवकल समीकरण `("dy"/"dx")^2 - x "dy"/"dx" + "y"` = 0 का एक हल है
F(x, y) = `("y"cos("y"/x) + x)/(xcos("y"/x))` समघातीय फलन नहीं है।
F(x, y) = `(x^2 + y^2)/(x - y)` कोटि 1 का समघातीय फलन है।
अवकल समीकरण x(1 + y2)dx + y(1 + x2)dy = 0 का व्यापक हल (1 + x2)(1 + y2) = k है।
अवकल समीकरण `"y"^2 "dy"/"dx" + "y"^2 + 1` = 0 का एक हल x + y = tan–1y है।
अवकल समीकरण `("d"^2"y")/("d"x^2) - x^2 "dy"/"dx" + x"y"` = x का एक विशिष्ट हल y = x है।
`"dy"/"dx" + "a"y` = emx का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
अवकल समीकरण `"dy"/"dx" + 1` = ex + y को हल कीजिए।
`x^2 "dy"/"dx"` = x2 + xy + y2 को हल कीजिए।
(x + y) (dx – dy) = dx + dy को हल कीजिए। [संकेत : dx और dy को पृथक करने के पश्चात x + y = z रखिए ]
बिंदु (1, 1) से गुजरने वाले उस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके किसी बिंदु P (x, y) से खींची गई स्पर्श रेखा, निर्देशांक अक्षों से A और B पर इस प्रकार मिलती है कि AB का मध्य बिंदु P है।
`("dy")/("d"x) - "y"` = 1 का हल जब, y(0) = 1 है
`("dy")/("d"x) = ("y" + 1)/(x - 1)`, जब y (1) = 2 है के हलों की संख्या है।
निम्न से कौन सा अवकल समीकरण कोटि 2 का है?
अवकल समीकरण `("dy")/("d"x) + (1 + "y"^2)/(1 + x^2)` का हल है
अवकल समीकरण `("dy")/("d"x) + "y" = (1 + "y")/x` का समाकलन गुणक है
अवकल समीकरण `("dy")/("d"x) = "e"^(x^2/2) + x"y"` का व्यापक हल है
`("dy")/("d"x) + "y"tanx = secx` व्यापक हल है
कोटि तीन के अवकल समीकरण के व्यापक हल में स्वेच्छ अचरों की संख्या ______ है।
अवकल समीकरण ydx + (x + xy)dy = 0 का हल ______ है।
`("d"x)/("dy") = "g"(x, "y")` जहाँ g (x, y) एक शून्य घात वाला समघातीय फलन है, प्रकार के अवकल समीकरण को हल करने के लिए सही प्रतिस्थापन x = vy है।
