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प्रश्न
निम्नलिखित फलन के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम माने, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
f(x) = sin x - cos x, 0 < x < 2π
उत्तर
दिया गया फलन, f(x) = sin x - cos x, 0 < x < 2`pi`
∴ f'(x) = cos x + sin x = cos x (1 + tan x)
यदि f'(x) = 0 तब 1 + tan x = 0
⇒ tan x = - 1
⇒ x = `(3pi)/4, (7pi)/4`
अब f''(x) = `"d"/"dx"` (cos x + sin x) = - sin x + cos x
x = `(3pi)/4` पर f''(x) = - sin `(3pi)/4 + "cos" (3pi)/4`
`= - (1/sqrt4) - 1/sqrt2`
`= - 2/sqrt2`
`= - sqrt2` (ऋणात्मक)
`therefore "x" = (3pi)/4` पर f(x) उच्चतम है।
तथा f(x) का उच्चतम मान
`f((3pi)/4)= sin (3pi)/4 - cos (3pi)/4`
`= 1/sqrt2 - (- 1/sqrt2)`
`= 2/sqrt2`
`= sqrt2`
पुन: `x = (7pi)/4 f' (x) = -sin (7pi)/4 + cos (7pi)/4`
`= - ((-1)/sqrt2) + 1/sqrt2`
`= 2/sqrt2`
`= sqrt2` (धनात्मक)
`therefore x = (7 pi)/4` पर f(x) निम्नतम है।
तथा f(x) का निम्नतम मान
`= f ((7pi)/4) = sin ((7pi)/4) - cos ((7pi)/4)`
`= - 1/sqrt2 - 1/sqrt2`
`= - sqrt2`
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