Advertisements
Advertisements
Question
ΔABC मध्ये ∠BAC = 90°, रेख BL व रेख CM या ΔABC च्या मध्यगा आहेत, तर सिद्ध करा : 4(BL2 + CM2 ) = 5BC2.
Solution
पक्ष: ∠BAC = 90°
रेख BL व रेख CM या मध्यगा आहेत.
साध्य: 4(BL2 + CM2 ) = 5BC2.
सिद्धता:
ΔBAL मध्ये, ∠BAL = 90° ....[पक्ष]
∴ BL2 = AB2 + AL2 ...(i) [पायथागोरसचे प्रमेय]
ΔCAM मध्ये, ∠CAM = 90° ...[पक्ष]
∴ CM2 = AC2 + AM2 ...(ii) [पायथागोरसचे प्रमेय]
∴ BL2 + CM2 = AB2 + AC2 + AL2 + AM2 ...(iii) [(i) व (ii) ची बेरीज करून]
आता, AL = `1/2` AC व AM = `1/2` AB ...(iv) [रेख BL व रेख CM या मध्यगा आहेत.]
∴ BL2 + CM2
= AB2 + AC2 + `(1/2 "AC")^2 + (1/2 "AB")^2` ....[(iii) व (iv) वरून]
= AB2 + AC2 + `"AC"^2/4 + "AB"^2/4`
= AB2 + `"AB"^2/4 + "AC"^2 + "AC"^2/4`
= `(5"AB"^2)/4 + (5"AC"^2)/4`
∴ BL2 + CM2 = `5/4` (AB2 + AC2)
∴ 4(BL2 + CM2) = 5(AB2 + AC2) ...(v)
ΔBAC मध्ये, ∠BAC = 90° ....[पक्ष]
∴ BC2 = AB2 + AC2 ....(vi) [पायथागोरसचे प्रमेय]
∴ 4(BL2 + CM2) = 5BC2 ..............[(v) व (vi) वरून]
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
एका चौरसाचा कर्ण 10 सेमी आहे तर त्याच्या बाजूची लांबी व परिमिती काढा.
एका आयताची लांबी 35 सेमी व रुंदी 12 सेमी आहे तर त्या आयताच्या कर्णाची लांबी काढा.
बाजूंच्या लांबी a, b, c असलेल्या त्रिकोणामध्ये जर a2 + b2 = c2 असेल तर तो कोणत्या प्रकारचा त्रिकोण असेल?
आयताच्या बाजू 11 सेमी व 60 सेमी असतील, तर त्याच्या कर्णाची लांबी काढा.
समद्विभुज काटकोन त्रिकोणाची बाजू x आहे, तर त्याच्या कर्णाची लांबी काढा.
ΔABC मध्ये रेख AD ⊥ रेख BC आणि DB = 3CD, तर सिद्ध करा : 2AB2 = 2AC2 + BC2
समलंब चौकोन ABCD मध्ये, रेख AB || रेख DC रेख BD ⊥ रेख AD, रेख AC ⊥ रेख BC, जर AD = 15, BC = 15 आणि AB = 25 असेल तर A(`square`ABCD) किती?
सोबतच्या आकृतीत, ∆QPR मध्ये, ∠QPR = 90°, PM ⊥ QR, PM = 10, QM = 8 यावरून QR काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.
कृती:
∆PQR मध्ये, PM ⊥ QR
∠PMQ = 90°,
∆PMQ मध्ये, पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार,
PM2 + `square` = PQ2 …(i)
∴ PQ2 = 102 + 82
∴ PQ2 = `square` + 64
PQ = `sqrt164`
∠PMR = 90°
यावरून, ∆QPR ~ ∆QMP ~ ∆PMR
∴ ∆QMP ~ ∆PMR
∴ `"PM"/"RM" = "QM"/"PM"`
∴ PM2 = RM × QM
∴ 102 = RM × 8
RM = `100/8 = square` आणि QR = QM + MR
QR = `square + 25/2 = 41/2`
एका आयताचे क्षेत्रफळ 192 चौसेमी असून त्याची लांबी 16 सेमी आहे, तर त्या आयताच्या कर्णाची लांबी माहीत करण्यासाठी कृती पूर्ण करा.
कृती: सोबतच्या आकृतीत, `square`LMNT हा आयत आहे.
आयताचे क्षेत्रफळ = लांबी × रुंदी
∴ आयताचे क्षेत्रफळ = `square` × रुंदी
रुंदी = 12 सेमी
∠TLM = 90° [आयताचा प्रत्येक कोन काटकोन असतो.]
∆TLM मध्ये, पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार,
TL2 + `square` = TM2
TM2 = `square` + 122
TM2 = `square` + 144
TM = 20
समद्विभुज काटकोन त्रिकोणाच्या एकरूप बाजूंची लांबी 7 सेमी आहे. त्याची परिमिती काढा.
