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Question
k के मान ज्ञात कीजिए, यदि बिंदु A(k + 1, 2k), B(3k, 2k + 3) और C(5k – 1, 5k) संरेख हैं।
Solution
हम जानते हैं कि, यदि तीन बिन्दु संरेखी हों, तो इन बिन्दुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होता है।
चूँकि, बिंदु A(k + 1, 2k), B(3k, 2k + 3) और C(5k – 1, 5k) संरेखी हैं।
फिर, ΔABC का क्षेत्रफल = 0
⇒ `1/2[x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)]` = 0
यहाँ, x1 = k + 1, x2 = 3k, x3 = 5k – 1 and y1 = 2k1, y2 = 2k + 3, y3 = 5k
⇒ `1/2[(k + 1)(2k + 3 - 5k) + 3k(5k - 2k) + (5k - 1)(2k - (2k
+ 3))]` = 0
⇒ `1/2[(k + 1)(-3k + 3) + 3k(3k) + (5k - 1)(2k - 2k - 3)]` = 0
⇒ `1/2[-3k^2 + 3k - 3k + 3 + 9k^2 - 15k + 3]` = 0
⇒ `1/2(6k^2 - 15k + 6)` = 0 ...[2 से गुणा करें]
⇒ 6k2 – 15k + 6 = 0 ...[गुणनखंडन विधि द्वारा]
⇒ 2k2 – 5k + 2 = 0 ...[3 से विभाजित करें]
⇒ 2k2 – 4k – k + 2 = 0
⇒ 2k(k – 2) – 1(k – 2) = 0
⇒ (k – 2)(2k – 1) = 0
यदि k – 2 = 0, तो k = 2
यदि 2k – 1 = 0, तो k = `1/2`
∴ k = `2, 1/2`
अतः, k के अभीष्ट मान 2 और `1/2` हैं।
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