Question

किसी घन का आयतन एक अचर दर से बढ़ रहा है। सिद्ध कीजिए कि उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल की वृद्धि उसकी भुजा की व्युत्क्रमानुपाती है।

Answer 1

मान लीजिए x घन की लंबाई है

∴ घन V का आयतन = x³   ......(1)

यह देखते हुए कि ${\displaystyle \frac{\text{dV}}{\text{dt}}}$ = K

विभेदक समीकरण (1) w.r.t. t, हमें मिलता है

${\displaystyle \frac{\text{dV}}{\text{dt}}=3x^2\cdot \frac{\text{dx}}{\text{dt}}}$ = K  .....(स्थिर)

∴ ${\displaystyle \frac{\text{dx}}{\text{dt}}=\frac{\text{K}}{3x^2}}$

अब घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल, S = 6x²

दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. t, हमें मिलता है

${\displaystyle \frac{\text{ds}}{\text{dt}}=6\cdot 2\cdot x\cdot \frac{\text{dx}}{\text{dt}}}$

= ${\displaystyle 12x\cdot \frac{\text{K}}{3x^2}}$

⇒ ${\displaystyle \frac{\text{ds}}{\text{dt}}=\frac{4\text{K}}{x}}$

⇒ ${\displaystyle \frac{\text{ds}}{\text{dt}}\infty \frac{1}{x}}$   .....(4K = स्थिर)

इसलिए, घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल व्युत्क्रमानुपाती होता है।