Advertisements
Advertisements
Question
निम्नलिखित का मान निकालिए-
`int (x^2 "d"x)/((x^2 + "a"^2)(x^2 + "b"^2)) `
Solution
मान लीजिए I = `int (x^2)/((x^2 + "a"^2)(x^2 + "b"^2)) "d"x`
आंशिक भिन्न के प्रयोजन के लिए x2 = t रखें।
हमें `"t"/(("t" + "a"^2)("t" + "b"^2))` मिलता है
`"t"/(("t" + "a"^2)("t" + "b"^2)) = "A"/("T" + "a"^2) + "B"/("t" + "b"^2)` रखो
⇒ `"t"/(("t" + "a"^2)("t" + "b"^2)) = ("A"("t" + "b"^2) + "B"("t" + "a"^2))/(("t" + "a"^2)("t" + "b"^2))`
⇒ t = At + Ab2 + Bt + Ba2
समान पदों की तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है
A + B = 1 और Ab2 + Ba2 = 0
A + B = 1 और Ab2 + Ba2 = 0
A = `(-"a"^2)/"b"^2 "B"`
∴ `(-"a"^2)/"b"^2 "B" + "B"` = 1
`"B"((-"a"^2)/"b"^2 + 1)` = 1
⇒ `"B"((-"a"^2 + "b"^2)/"b"^2)` = 1
⇒ B = `"b"^2/("b"^2 - "a"^2)` और A = `(-"a"^2)/"b"^2 xx "b"^2/("b"^2 - "a"^2) = "a"^2/("a"^2 - "b"^2)`
तो A = `"a"^2/("a"^2 - "b"^2)` और B = `(-"b"^2)/("a"^2 - "b"^2)`
∴ `int x^2/((x^2 + "a"^2)(x^2 + "b"^2)) "d"x = "a"^2/("a"^2 - "b"^2) int 1/(x^2 + "a"^2) "d"x - "b"^2/("a"^2 - "b"^2) int 1/(x^2 + "b"^2) "d"x`
= `"a"^2/("a"^2 - "b"^2) xx 1/"a" tan^-1 x/"a" - "b"^2/("a"^2 - "b"^2) * 1/"b" tan^-1 x/"b"`
= `"a"/("a"^2 - "b"^2) tan^-1 x/"a" - "b"/("a"^2 - "b"^2) tan^-1 x-"b" + "C"`
अत:, I = `1/("a"^2 - "b"^2) ["a" tan^-1 x/"a" - "b" tan^-1 x/"b"] + "C"`.
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
`int sqrt((1 + x)/(1 - x)) "d"x`, का मान निकालिए।
`int "dx"/sqrt((x - alpha)(beta - x)), beta > alpha` का मान निकालिए।
`int_0^(pi/2) (tan^7x)/(cot^7x + tan^7x) "d"x` का मान निकालिए।
यदि [0, 1] में f और g ऐसे सतत फलन हैं, जो f (x) = f (a – x) और g (x) + g (a – x) = a, को संतुष्ट करते हैं, तो `int_0^a "f" (x) * "g"(x)"d"x` बराबर है
`int_(-2)^2 |x cos pix| "d"x` बराबर है
`int (sin^6x)/(cos^8x) "d"x` = ______.
`int_0^(2"a") "f"(x) "d"x = 2int_0^"a" "f"(x) "d"x`, यदि f(2a – x) = ______.
निम्नलिखित का सत्यापन कीजिए-
`int (x - 1)/(2x + 3) "d"x = x - log |(2x + 3)^2| + "C"`
निम्नलिखित के मान निकालिए-
`int ((x^2 + 2))/(x + 1) "d"x`
निम्नलिखित के मान निकालिए-
`int x/sqrt(x + 1)"d"x` (संकेत: `sqrtx` = z रखिए)
निम्नलिखित के मान निकालिए-
`int (3x - 1)/sqrt(x^2 + 9) "d"x`
निम्नलिखित के मान निकालिए-
`int x/(x^4 - 1) "d"x`
निम्नलिखित के मान निकालिए-
`int x^2/(1 - x^4) "d"x` [x2 = t रखिए]
निम्नलिखित के मान निकालिए-
`int (cos x - cos 2x)/ (1 - cos x)"d"x`
निम्नलिखित का मान निकालिए-
`int_1^2 ("d"x)/sqrt((x -1) (2 -x))`
निम्नलिखित का मान निकालिए-
`int "e"^(tan^-1x) ((1 + x + x^2)/(1 + x^2)) "d"x`
निम्नलिखित का मान निकालिए-
`int_0^(pi/2) "dx"/(("a"^2 cos^2x + "b"^2 sin^2 x)^2` (संकेत: अंश और हर को cos4x से भाग दीजिए)
निम्नलिखित का मान निकालिए-
`int_0^pi x log sin x "d"x`
निम्नलिखित का मान निकालिए-
`int_(-pi/4)^(pi/4) log|sinx + cosx|"d"x`
`int tan^-1 sqrtx "d"x` बराबर है
`int (x^9 "d"x)/(4x^2 + 1)^6` बराबर है
यदि `int ("d"x)/((x + 2) (x^2 + 1))= "a" log |1 + x^2| + "b" tan^-1x + 1/5 log |x + 2| + "C"` है, तो ______
`int x^3/(x + 1)` बराबर है
यदि `intx^3/sqrt(1 + x^2) "d"x = "a"(1 + x^2)^(3/2) + "b"sqrt(1 + x^2) + "C"` है, तो ______
`int_((-pi)/4)^(pi/4) ("d"x)/(1 + cos2x)` बराबर है
