Advertisements
Advertisements
Question
वक्र y2 = 4ax तथा x2 = 4by का प्रतिच्छेद कोण ज्ञात कीजिए।
Solution
दिया हुआ है कि y2 = 4ax .....
(i) तथा x2 = 4by .....(ii). हल करने पर
`(x^2/(4"b"))^2` = 4ax
⇒ x4 = 64 ab2x
या x(x3 – 64 ab2) = 0
⇒ x = 0, x = `4"a"^(1/3) "b"^(2/3)`
अतः (0, 0) तथा `(4"a"^(1/3) "b"^(2/3), 4"a"^(2/3)"b"^(1/3))` प्रतिच्छेद बिंदु हैं।
पुन:, y2 = 4ax
⇒ `"dy"/"dx" = (4"a")/"dx" = (2"a")/y` तथा x2 = 4by
⇒ `"dy"/"dx" = (2x)/(4"b") = x/(2"b")`
इसलिए, (0, 0) पर वक्र y2 = 4ax की स्पर्श रेखा y-अक्ष के समांतर है, तथा वक्र x2 = 4by की स्पर्श रेखा x-अक्ष के समांतर है।
⇒ कक्रों के बीच का कोण = `pi/2`
`(4"a"^(1/3)"b"^(2/3), 4"a"^(2/3)"b"^(1/3))` पर, m1 ......(वक्र (i) की स्पर्श रेखा की प्रवणता)
= `2("a"/"b")^(1/3)`
= `(2"a")/(4"a"^(2/3)"b"^(1/3))`
= `1/2("a"/"b")^(1/3)` तथा, m2 ....(वक्र (ii) की स्पर्श रेखा की प्रवणता)
= `(4"a"^(1/3)"b"^(2/3))/(2"b")`
= `2("a"/"b")^(1/3)`
इसलिए, tan θ = `|("m"_2 - "m"_3)/(1 + "m"_1 "m"_2)|`
= `|(2("a"/"b")^(1/3) - 1/2("a"/"b")^(1/3))/(1 + 2("a"/"b")^(1/3) 1/2("a"/"b")^(1/3))|`
= `(3"a"^(1/3) . "b"^(1/3))/(2("a"^(2/3) + "b"^(2/3))`
अतः, θ = `tan^-1((3"a"^(1/3) . "b"^(1/3))/(2("a"^(2/3) + "b"^(2/3))))`
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
अवकलज का प्रयोग करके निम्नलिखित में से सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।
(33)-1/5
सिद्ध कीजिए कि f (x) = `(log x)/x` द्वारा प्रदत्त फलन x = e पर उच्चतम है।
निर्धारित कीजिए कि x के किन मानों के लिए, फलन y = `x^4 – (4x^3)/3` वर्धमान है तथा किन मानों के लिए, यह हासमान है।
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = 4x3 – 18x2 + 27x – 7 का कोई उच्चिष्ठ अथवा निम्निष्ठ नहीं है।
किसी शांकवीय बर्तन के शीर्ष के एक छोटे छिद्र से, जिसका अक्ष ऊर्घ्वाधर है, पानी 1 cu cm/sec की दर से बह रहा है। बर्तन में पानी के सतह की तिर्यक ऊँचाई के घटने की दर उस समय ज्ञात कीजिए जब तिर्यक ऊँचाई 4 cm हैं। शांकवीय बर्तन का शीर्ष कोण `pi/6` है।
उस महत्तम आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जो दीर्घवृत्त `x^2/a^2 + y^2/b^2` = 1 के अंतर्गत स्थित है।
शीर्ष कोण `2theta` वाला एक समद्धिबाहु त्रिभुज a त्रिज्या वाले किसी वृत्त के अंतर्गत स्थित है। सिद्ध कीजिए कि त्रिभुजं का क्षेत्रफल उच्चतम है। जब `theta = pi/6`
दो वक्र x3 – 3xy2 + 2 = 0 तथा 3x2 y – y3 = 2
वक्र y = sinx के बिंदु (0, 0) पर अभिलंब का समीकरण:
sinx + cosx का उच्चिष्ठ मान ______ है।
नमक का एक गोलाकार गेंद पानी में इस प्रकार घुल रहा है कि किसी क्षण उसके आयतन के घटने की दर उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल के समानुपाती है। सिद्ध कीजिए कि उसकी त्रिज्या एक अचर दर से घट रही है।
एक दूसरे से 45° पर झुकी हुई दो सड़कों के संधि-स्थल से दो मनुष्य A तथा B, एक ही समय v वेग से चलना प्रारम्भ करते हैं। यदि वे अलग-अलग सड़कों पर चलते हैं तो उनके परस्पर एक दूसरे से अलग होने की दर ज्ञात कीजिए।
किसी तरनताल को सफाई के लिए खाली करना है।यदि ताल को बंद करने के t seconds बाद ताल में पानी की मात्रा, लिटर में, L से निरूपित होती है तथा L = 200 (10 – t)2 तो 5 seconds में अंत में पानी कितनी तेजी से बाहर निकल रहा है? प्रथम 5 seconds में पानी के बाहर निकलने की औसत दर क्या है?
सिद्ध कीजिए कि वक्र xy = 4 तथा x2 + y2 = 8, एक दूसरे को स्पर्श करते हैं।
वक्र 3x2 – y2 = 8 के उन अभिलम्ब रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए, जो रेखा x + 3y = 4 के समांतर हैं।
वक्र x2 + y2 – 2x – 4y + 1 = 0 के किन बिंदुओं पर स्पर्श रेखाएँ y-अक्ष के समांतर हैं।
सिद्ध कीजिए कि रेखा `x/"a" +y/"b"` = 1 , वक्र y = b . e-x/a को उस बिंदु पर स्पर्श करती है जिस पर वक्र y-अक्ष को काटता है।
सिद्ध कीजिए कि a ≥ 1 के लिए f (x) = `sqrt3` sinx - cosx - 2ax + b, R में हासमान फलन है।
फलन f (x) = x5 – 5x4 + 5x3 – 1 के स्थानीय उच्चिष्ठ, स्थानीय निम्निष्ठ तथा नति परिवर्तन के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए। साथ ही संगत स्थानीय उच्चतम तथा स्थानीय निम्नतम मानों को भी ज्ञात कीजिए।
एक क्षैतिज फर्श पर 5 मीटर लंबी एक सीढ़ी किसी ऊर्ध्वाधर दीवार पर झुकी है।यदि सीढ़ी का ऊपरी सिरा 10 cm/sec, की दर से नीचे की ओर फिसल रहा है तो सीढ़ी तथा फर्श के बीच का कोण, उस समय जब सीढ़ी का निचला सिरा दीवार से 2 मीटर दूर है:
बिंदु (0, 0) पर वक्र y = `x^(1/5)` की ______
वक्र x = t2 + 3t – 8, y = 2t2 – 2t – 5 की, बिंदु (2, -1) पर, स्पर्श रेखा की प्रवणता ______ है।
दो वक्र x3 – 3xy2 + 2 = 0 तथा 3x2 y – y3 – 2 = 0 किस कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं:
वह अंतराल, जिसमें फलन f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x – 1 हासमान है,
y = x(x – 3)2, x के नीचे दिए हुए मानों के लिए हासमान है,
निम्नलिखित में से कौन-सा फलन 0, `pi/2` में हासमान है,
बहुपद x3 – 18x2 + 96x का, अंतराल [0, 9] में, निम्नतम मान ______
f (x) = 2 sin3x + 3 cos3x का मान x = `(5pi)/6`, पर ______
