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Question
XY त्रिभुज ABC की भुजा BC के समांतर एक रेखा है | यदि BE || AC और CF || AB रेखा XY से क्रमश: E और F पर मिलती है, तो दर्शाइए कि:
ar(ABE) = ar(ACF)
Solution
दिया जाता है कि
XY || BC ⇒ EY || BC
BE || AC ⇒ BE || CY
अत: EBCY एक समांतर चतुर्भुज है।दिया जाता है कि
XY || BC ⇒ XF || BC
FC || AB ⇒ FC || XB
अत: BCFX एक समांतर चतुर्भुज है।
समांतर चतुर्भुज EBCY और BCFX एक ही आधार BC पर और समान समांतर रेखाओं BC और EF के बीच स्थित हैं।
∴ क्षेत्रफल (EBCY) = क्षेत्रफल (BCFX) ... (1)
समांतर चतुर्भुज EBCY और AEB पर विचार करें
ये एक ही आधार BE पर स्थित हैं और एक ही समान्तर रेखाओं BE और AC के बीच स्थित हैं।
∴ क्षेत्रफल (ΔABE) = 1/2 क्षेत्रफल (EBCY) ... (2)
साथ ही, समांतर चतुर्भुज BCFX और ΔACF एक ही आधार CF पर और समान समांतर रेखाओं CF और AB के बीच स्थित हैं।
∴ क्षेत्रफल (ΔACF) = 1/2 क्षेत्रफल (BCFX) ... (3)
समीकरण (1), (2), और (3) से, हम प्राप्त करते हैं
क्षेत्रफल (ΔABE) = क्षेत्रफल (ΔACF)
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चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि OB = OD है | यदि AB = CD है, तो दर्शाइए की
(i) ar (DOC) = ar (AOB)
(ii) ar (DCB) = ar (ACB)
(iii) DA || CB या ABCD एक समांतर चतुर्भुज है |
[संकेत: D और B से AC पर लंब खींचिए।]
एक समलंब ABCD, जिसमें AB || DC हैं, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं | दर्शाइए कि ar(AOD) = ar(BOC) है |
आकृति में, भुजा BC पर दो बिंदु D और E इस प्रकार स्थित हैं कि BD = DE = EC है। दर्शाइए कि ar (ABD) = ar (ADE) = ar (AEC) है।
क्या आप इस प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं कि आपने इस अध्याय के 'परिचय' में छोड़ दिया है कि "क्या बुधिया के खेत को वास्तव में बराबर क्षेत्रफल के तीन भागों में बांटा गया है"?
[टिप्पणी: ध्यान दें कि BD = DE = EC लेने पर त्रिभुज ABC को बराबर क्षेत्रफलों वाले तीन त्रिभुज ABD, ADE और AEC में विभाजित किया जाता है। इसी तरह, BC को n समान भागों में विभाजित करके और इस प्रकार प्राप्त विभाजन बिंदुओं को BC के विपरीत शीर्ष से जोड़कर, आप ΔABC को समान क्षेत्रफल वाले n त्रिभुजों में विभाजित कर सकते हैं।]
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