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प्रश्न
बिंदु A(–6, 10), B(–4, 6) और C(3, –8) इस प्रकार संरेख हैं कि AB = `2/9`AC है।
विकल्प
सत्य
असत्य
उत्तर
यह कथन सत्य है।
स्पष्टीकरण:
यदि बिंदुओं (x1, y2), (x2, y2) और (x3, y3) से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य है, तो बिंदु संरेख हैं,
∵ त्रिभुज का क्षेत्रफल = `1/2[x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)]`
यहाँ, x1 = – 6, x2 = – 4, x3 = 3 और y1 = 10, y2 = 6, y3 = – 8
∴ ΔABC का क्षेत्रफल = `1/2[-6{6 - (-8)} + (-4)(-8 - 10) + 3(10 - 6)]`
= `1/2[-6(14) + (-4)(-18) + 3(4)]`
= `1/2(-84 + 72 + 12)`
= 0
तो, दिए गए बिंदु संरेख हैं।
अब, A(– 6, 10), B(– 4, 6) के बीच की दूरी
AB = `sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2`
AB = `sqrt((-4 + 6)^2 + (6 - 10)^2`
`sqrt(2^2 + 4^2)`
= `sqrt(4 + 16)`
= `sqrt(20)`
= `2sqrt(5)`
A(– 6, 10) और C(3, – 8) के बीच की दूरी,
AC = `sqrt((3 + 6)^2 + (-8 - 10)^2`
= `sqrt(9^2 + 18^2)`
= `sqrt(81 + 324)`
= `sqrt(405)`
= `sqrt(81 xx 5)`
= `9sqrt(5)`
∴ AB = `2/9` AC
जो आवश्यक संबंध है।
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