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प्रश्न
निम्नलिखित का सत्यापन कीजिए-
`int (x - 1)/(2x + 3) "d"x = x - log |(2x + 3)^2| + "C"`
उत्तर
L.H.S. = `int (2x - 1)/(2x + 3) "d"x`
⇒ `int (1 - 4/(2x + 3)) "d"x` .....[अंश को हर से विभाजित करना]
⇒ `int 1 * "d"x - 4 int 1/(2x + 3) "d"x`
⇒ `int 1 * "d"x - 4/2 int 1/(x + 3/2) "d"x`
⇒ `int 1 * "d"x - 2 int 1/(x + 3/2) "d"x`
⇒ `x - 2 log |x + 3/2| + "C"`
⇒ `x - 2 log |(2x + 3)/2| + "C"`
⇒ `x - log|((2x + 3)/2)^2| + "C"` ....[∵ n log m = log mn]
⇒ `x - log |(2x + 3)^2| - log 2^2 + "C"`
⇒ `x - log |(2x + 3)^2| + "C"_1`
⇒ R.H.S. ......[जहाँ C1 = C – log 22]
L.H.S. = R.H.S.
इसलिए साबित हुआ।
L.H.S. = `int (2x - 1)/(2x + 3) "d"x`
⇒ `int (1 - 4/(2x + 3)) "d"x` .....[अंश को भाजक से विभाजित करना]
⇒ `int 1 * "d"x - 4 int 1/(2x + 3) "d"x`
⇒ `int 1 * "d"x - 4/2 int 1/(x + 3/2) "d"x`
⇒ `int 1 * "d"x - 2 int 1/(x + 3/2) "d"x`
⇒ `x - 2 log |x + 3/2| + "C"`
⇒ `x - 2 log |(2x + 3)/2| + "C"`
⇒ `x - log|((2x + 3)/2)^2| + "C"` ....[∵ n log m = log mn]
⇒ `x - log |(2x + 3)^2| - log 2^2 + "C"`
⇒ `x - log |(2x + 3)^2| + "C"_1`
⇒ R.H.S. ......[Where C1 = C – log 22]
L.H.S. = R.H.S.
इसलिए साबित हुआ।
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समाकलन की एक प्रतिअवकलज के रूप में अवधारणा का प्रयोग करते हुए, निम्नलिखित का सत्यापन कीजिए-
`int (x^3"d"x)/(x + 1) = x - x^2/2 + x^3/3 - log|x + 1| + "C"`
`int_0^(pi/4) sqrt(1 + sin2x) "d"x` ज्ञात कीजिए।
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`(x^3 + x)/(x^4 - 9)"d"x` का मान निकालिए।
`int_-1^2 f (x) "d"x`, का मान निकालिए, जहाँ f (x) = |x + 1| + |x| +| x - 1|
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यदि [0, 1] में f और g ऐसे सतत फलन हैं, जो f (x) = f (a – x) और g (x) + g (a – x) = a, को संतुष्ट करते हैं, तो `int_0^a "f" (x) * "g"(x)"d"x` बराबर है
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यदि `int_0^1 "e"^"t"/(1 + "t") "dt"` = a, है, तब `int_0^1 "e"^"t"/(1 + "t")^2 "dt"` बराबर है
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निम्नलिखित के मान निकालिए-
`int ((1 + cosx))/(x + sinx) "d"x`
निम्नलिखित के मान निकालिए-
`int ("d"x)/(1 + cos x)`
निम्नलिखित के मान निकालिए-
`int (sinx + cosx)/sqrt(1 + sin 2x) "d"x`
निम्नलिखित के मान निकालिए-
`int ("d"x)/sqrt(16 - 9x^2)`
निम्नलिखित के मान निकालिए-
`int sqrt(5 - 2x + x^2) "d"x`
निम्नलिखित के मान निकालिए-
`int (sin^6 x + cos^6 x)/(sin^2 x cos^2 x)"d"x`
निम्नलिखित के मान निकालिए-
`int sqrt(x)/sqrt("a"^3 - x^3)"d"x`
निम्नलिखित के मान निकालिए-
`int (cos x - cos 2x)/ (1 - cos x)"d"x`
निम्नलिखित का योग की सीमा के रूप में मान निकालिए-
`int_0^2 (x^2 + 3)"d"x`
निम्नलिखित का मान निकालिए-
`int_1^2 ("d"x)/sqrt((x -1) (2 -x))`
निम्नलिखित का मान निकालिए-
`int_(pi/3)^(pi/2) sqrt(1 + cosx)/(1 - cos x)^(5/2) "d"x`
`int "e"^x ((1 - x)/(1 + x^2))^2 "d"x` बराबर है
`int (x + sinx)/(1 + cosx) "d"x` बराबर है
यदि `int_0^"a" 1/(1 + 4x^2)"d"x = pi/8` है, तो a = ______
`int_-pi^pi sin^3x cos^2x "d"x` का मान ______.
