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प्रश्न
P(4, 2, –6) और Q(10, –16, 6) के मिलाने वाली रेखा खंड PQ को सम त्रि-भाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
उत्तर
माना बिंदु A, B रेखाखंड PQ को 3 समान भागों में विभाजित करती है।
बिंदु A, रेखाखंड PQ को 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करता है।
A = `((1 xx 10 + 2 xx 4)/(1 + 2), (1 xx (-16) + 2 xx 2)/(1 + 2), (1 xx 6 + 2 xx (-6))/(1 + 2))`
या A = `(18/3, (-12)/3, (-6)/3)` अर्थात् A(6, −4, −2)
बिंदु B रेखा खंड PQ को 2 : 1 अनुपात में विभाजित करता है
∴ B के निर्देशांक = `"B"((2 xx 10 + 1 xx 4)/(2 + 1), (2 xx (-16) + 1 xx 2)/(2 + 1), (2 xx 6 + 1 xx (-6))/(2 + 1))`
= `"B"((20 + 4)/3, (-32 + 2)/3, (12 - 6)/3)`
= B(8, −10, 2)
अत: A तथा B के निर्देशांक क्रमशः (6, –4, –2) और (8, –10, 2) हैं।
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नीचे दिए गए उदाहरण में रेखाखंड PQ को a : b के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
P(-3, 7), Q(1, -4), a : b = 2 : 1
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उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जो बिंदुओं (-1, 7) और (4, -3) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।
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ज्ञात कीजिए कि बिंदु `P(3/4, 5/12)`, बिंदुओं `A(1/2, 3/2)` और B(2, –5) को मिलाने वाले रेखाखंड को किस अनुपात में विभाजित करता हैं।
बिंदुओं A(3, 2) और B(5, 1) को मिलाने वाला रेखाखंड बिंदु P पर 1 : 2 के अनुपात में विभाजित हो जाता है। तथा बिंदु P रेखा 3x – 18y + k = 0 पर स्थित है। k का मान ज्ञात कीजिए।
वह अनुपात ज्ञात कीजिए, जिसमें रेखा 2x + 3y – 5 = 0, बिंदुओं (8, –9) और (2, 1) को मिलाने वाले रेखाखंड को विभाजित करती है। विभाजन बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
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यदि बिंदु A(4, –3) तथा B(8, 5) हो, तो रेखाखंड AB को 3 : 1 के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु P का निर्देशांक ज्ञात करने के लिए निम्न कृति पूर्ण करो:
कृति: 
x = `(mx_2 + nx_1)/square`
∴ x = `(3 xx 8 + 1 xx 4)/(3 + 1)`
∴ x = `(square + 4)/4`
∴ x = `square`,
y = `square/(m + n)`
∴ y = `(3 xx 5 + 1 xx (-3))/(3 + 1)`
∴ y = `(square - 3)/4`
∴ y = `square`
