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प्रश्न
y2dx + (x2 – xy + y2) dy = 0 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
उत्तर
दिया गया समीकरण y2dx + (x2 – xy + y2) dy = 0 है।
⇒ y2dx = – (x2 – xy + y2) dy
⇒ `"dx"/"dy" = - (x^2 - x"y" + "y"^2)/"y"^2`
क्योंकि यह एक समघातीय अवकल समीकरण है
∴ x = vy रखिए
⇒ `"dx"/"dy" = "v" + "y" * "dv"/"dy"`
तो, `"v" + "y" * "dv"/"dy" = - (("v"^2"y"^2 - "vy"^2 + "y"^2)/"y"^2)`
⇒ `"v" + "y" * "dv"/"dy" = -("y"^2("v"^2 - "v" + 1))/"y"^2`
⇒ `"v" + "y" * "dv"/"dy" = (-"v"^2 + "v" - 1)`
⇒ `"y" * "dv"/"dy" = - "v"^2 + "v" - 1 = "v"`
⇒ `"y" * "dv"/"dy" = - "v"^2 - 1`
⇒ `"dv"/(("v"^2 + 1)) = - "dy"/"y"`
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है
⇒ `int "dv"/(("v"^2 + 1)) = -int "dy"/"y"`
⇒ `tan^-1"v" = - log "y" + "c"`
⇒ `tan^-1(x/"y") + log "y" + "c"`
इसलिए, वाँछित हल `tan^-1(x/"y") + log "y" + "c"` है।
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