Question

बिंदु (2, 1) से जाने वाले उस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका किसी भी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता  ${\displaystyle \frac{x^2+{\text{y}}^2}{2x\text{y}}}$ है।

Answer 1

यह देखते हुए कि (x, y) पर एक वक्र के स्पर्शरेखा का ढलान ${\displaystyle \frac{\text{dy}}{\text{d}x}=\frac{x^2+{\text{y}}^2}{2x\text{y}}}$  है

यह एक समघातीय अवकल समीकरण है

तो,  y = vx रखिए

⇒ ${\displaystyle \frac{\text{dy}}{\text{d}x}=\text{v}+x\cdot \frac{\text{dv}}{\text{dx}}}$

${\displaystyle \text{v}+x\cdot \frac{\text{dv}}{\text{dx}}=\frac{x^2+{\text{v}}^2{x}^2}{2x\cdot \text{v}x}}$

⇒ ${\displaystyle \text{v}+x\cdot \frac{\text{dv}}{\text{dx}}=\frac{1+{\text{v}}^2}{2\text{v}}}$

⇒ ${\displaystyle x\cdot \frac{\text{dv}}{\text{dx}}=\frac{1+{\text{v}}^2}{2\text{v}}-\text{v}}$

⇒ ${\displaystyle x\cdot \frac{\text{dv}}{\text{dx}}=\frac{1+{\text{v}}^2-2{\text{v}}^2}{2\text{v}}}$

⇒ ${\displaystyle x\cdot \frac{\text{dv}}{\text{dx}}=\frac{1-{\text{v}}^2}{2\text{v}}}$

⇒ ${\displaystyle \frac{2\text{v}}{1-{\text{v}}^2}\text{dv}=\frac{\text{d}x}{x}}$

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है

${\displaystyle \int \frac{2\text{v}}{1-{\text{v}}^2}\text{dv}=\int \frac{\text{d}x}{x}}$

⇒ ${\displaystyle -\log |1-{\text{v}}^2|=\log x+\log \text{c}}$

⇒ ${\displaystyle -\log |1-\frac{{\text{y}}^2}{x^2}|=\log x+\log \text{c}}$

⇒ ${\displaystyle -\log \left|\frac{x^2-{\text{y}}^2}{x}\right|=\log x+\log \text{c}}$

⇒ ${\displaystyle \log \left|\frac{x^2}{x^2-{\text{y}}^2}\right|=\log \left|x\text{c}\right|}$

⇒ ${\displaystyle \frac{x^2}{x^2-{\text{y}}^2}}$ = xc

क्योंकि वक्र बिंदु (2, 1) से होकर जा रहा है।

∴ ${\displaystyle \frac{{\left(2\right)}^2}{{\left(2\right)}^2-{\left(1\right)}^2}}$ = 2c

⇒ ${\displaystyle \frac{4}{3}}$ = 2c

⇒ c = ${\displaystyle \frac{2}{3}}$

इसलिए, वाँछित समीकरण ${\displaystyle \frac{x^2}{x^2-{\text{y}}^2}=\frac{2}{3}x}$

⇒ 2(x² – y²) = 3x है।