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Question
बिंदु (2, 1) से जाने वाले उस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका किसी भी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता `(x^2 + "y"^2)/(2x"y")` है।
Solution
यह देखते हुए कि (x, y) पर एक वक्र के स्पर्शरेखा का ढलान `("dy")/("d"x) = (x^2 + "y"^2)/(2x"y")` है
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है
तो, y = vx रखिए
⇒ `("dy")/("d"x) = "v" + x * "dv"/"dx"`
`"v" + x * "dv"/"dx" = (x^2 + "v"^2x^2)/(2x * "v"x)`
⇒ `"v" + x * "dv"/"dx" = (1 + "v"^2)/(2"v")`
⇒ `x * "dv"/"dx" = (1 + "v"^2)/(2"v") - "v"`
⇒ `x * "dv"/"dx" = (1 + "v"^2 - 2"v"^2)/(2"v")`
⇒ `x * "dv"/"dx" = (1 - "v"^2)/(2"v")`
⇒ `(2"v")/(1 - "v"^2) "dv" = ("d"x)/x`
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है
`int (2"v")/(1 - "v"^2) "dv" = int ("d"x)/x`
⇒ `-log|1 - "v"^2| = log x + log "c"`
⇒ `-log|1 - "y"^2/x^2| = logx + log"c"`
⇒ `-log|(x^2 - "y"^2)/x| = logx + log"c"`
⇒ `log|x^2/(x^2 - "y"^2)| = log|x"c"|`
⇒ `x^2/(x^2 - "y"^2)` = xc
क्योंकि वक्र बिंदु (2, 1) से होकर जा रहा है।
∴ `(2)^2/((2)^2 - (1)^2` = 2c
⇒ `4/3` = 2c
⇒ c = `2/3`
इसलिए, वाँछित समीकरण `x^2/(x^2 - "y"^2) = 2/3 x`
⇒ 2(x2 – y2) = 3x है।
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