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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि एक समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग उसके विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।
उत्तर
मान लीजिए ABCD एक समचतुर्भुज है, जिसके विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। हम जानते हैं कि समचतुर्भुज की चारों भुजाएँ बराबर होती हैं तथा उसके विकर्ण परस्पर एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं एवं समचतुर्भुज को चार सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों में बाँटते हैं।
अब समकोण त्रिभुज AOB में, ∠AOB = 90°
⇒ AB2 = AO2 + BO2 [पाइथागोरस प्रमेय से]
= `("AC"/2)^2 + ("BD"/2)^2`
[∵ AO = `1/2` AC एवं BO = `1/2` BD]
⇒ AB2 = `1/4`AC2 + `1/4`BD2
⇒ 4AB2 = AC2 + BD2
⇒ AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 [∵ AB = BC = CD = DA]
अतः एक समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग उसके विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।
इति सिद्धम्
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