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प्रश्न
उस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूल बिंदु से होकर जाता है और अवकल समीकरण `(1 + x^2) "dy"/"dx" + 2x"y"` = 4x2 को संतुष्ट करता है।
उत्तर
दिया गया समीकरण `(1 + x^2) "dy"/"dx" + 2x"y"` = 4x2 है।
⇒ `"dy"/"dx" + (2x)/(1 + x^2) * "y" = (4x^2)/(1 + x^2)`
यहाँ, P = `(2x)/(1 + x^2)` और Q = `(4x^2)/(1 + x^2)`
समाकलन गुणक I.F. = `"e"^(int "Pdx")`
= `"e"^(int (2x)/(1 + x^2) "dx")`
= `"e"^(log(1 + x^2)`
= 1 + x2
∴ हल `"y" xx "I"."F". = int "Q" xx "I"."F". "d"x + "c"` है।
⇒ `"y"(1 + x^2) = int (4x^2)/(1 + x^2) xx (1 + x^2) "d"x + "c"`
⇒ `"y"(1 + x^2) = int 4x^2 "d"x + "c"`
⇒ `"y"(1 + x^2) = 4/3 x^3 + "c"` ......(i)
क्योंकि वक्र मूल बिन्दु से होकर जा रहा है अर्थात (0, 0)
∴ समीकरण (i) में y = 0 और x = 0 रखें।
0(1 + 0) = `4/3(0)^3 + "c"`
⇒ C = 0
∴ समीकरण `"y"(1 + x^2) = 4/3 x^3` है।
⇒ y = `(4x^3)/(3(1 + x^2))`
अत: वाँछित हल y = `(4x^3)/(3(1 + x^2))`.
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