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प्रश्न
यदि किसी c > 0 के लिए (x – a)2 + (y – b)2 – c2 है तो सिद्ध कीजिए कि `[1+ (dy/dx)^2]^(3/2)/((d^2y)/dx^2)`, a और b से स्वतंत्र एक स्थिर राशि है।
उत्तर
यहाँ (x – a)2 + (y – b)2 = (दिया है) …(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`=> 2 (x - a) + 2(y - b)^2 dy/dx = 0`
`=> (x - a) + (y - b) dy/dx = 0` ...(2)
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`1 + dy/dx * dy/dx + (y - b) (d^2 y)/dx^2` = 0
`1 + (dy/dx)^2 + (y - b) (d^2y)/dx^2` = 0
`=> (y - b) = - {(1 + (dy/dx)^2)/((d^2y)/dx^2)}` ...(3)
(2) में (y - b) का मान रखने पर,
`(x - a) = (1 + (dy/dx)^2)/((d^2 y)/dx^2) * dy/dx`
या `(x - a) = {(1 + (dy/dx)^2)/((d^2y)/dx^2)}(dy/dx)` ...(4)
(1) में (3) व (4) से (x - a) तथा (y - b) का मान रखने से,
`{1 + (dy/dx)^2}^2/((d^2y)/dx^2)^2 * (dy/dx)^2 + {(1 + (dy/dx)^2)/((d^2y)/dx^2)} = c^2`
`((d^2y)/dx^2)^2` से गुणा करने पर,
`[1 + (dy/dx)^2]^2 (dy/dx)^2 + [1 + (dy/dx)^2]^2`
`= c^2 ((d^2y)/dx)^2`
`=> [1 + (dy/dx)^2]^2 [(dy/dx)^2 + 1] = c^2 ((d^2y)/dx^2)^2`
`=> {1 + (dy/dx)^2}^3 = c^2 ((d^2y)/dx^2)^2`
वर्गमूल लेने पर,
`therefore {1 + (dy/dx)^2}^(3//2)/((d^2y)/dx^2)` = c ...(a और b से स्वतंत्र एक स्थिर राशि है।)
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