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प्रश्न
f(x) = `{{:(x^2 + 1",", "यदि" 0 ≤ x ≤ 1),(3 - x",", "यदि" 1 ≤ x ≤ 2):}` द्वारा दिए जाने वाले फलन पर रोले के प्रमेय की अनुप्रयोगता पर चर्चा कीजिए।
उत्तर
हमारे पास है, f(x) = `{{:(x^2 + 1",", "यदि" 0 ≤ x ≤ 1),(3 - x",", "यदि" 1 ≤ x ≤ 2):}`
हम जानते हैं कि बहुपद फलन सर्वत्र संतत और अवकलनीयता है।
अतः x = 1 छोड़कर सभी बिंदुओं पर f(x) संतत और अवकलनीय है।
अब `lim_(x -> 1^-) (x^2 + 1)` = 1 + 1 = 2
तथा `lim_(x -> 1^+) (3 - x)` = 3 – 1 = 2
साथ ही f(1) = 12 + 1 = 2
अतः f(x) x = 1 पर संतत है।
साथ ही f'(x) = `{{:(2x",", "यदि" 0 < x < 1),(-x",", "यदि" 1 < x 2):}`
f'(1) = 2(1) = 2
और f'(1) = –1
इस प्रकार f'(1) ≠ f'(1).
अत: x = 1 पर f(x) अवकलनीय नहीं है।
अत: अंतराल [0, 2] पर रोले की प्रमेय लागू नहीं होती है।
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