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प्रश्न
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
`cot^-1 [(sqrt(1 + sin x) + sqrt(1 - sin x))/(sqrt(1 + sin x) - sqrt(1 - sin x))]`, 0 < x < `pi/2`
उत्तर
माना, y = `cot^-1 [(sqrt(1 + sin x) + sqrt(1 - sin x))/(sqrt(1 + sin x) - sqrt(1 - sin x))]`
अब, `1 + sin x = sin^2 x/2 + cos^2 x/2 + 2 sin x/2 cos x/2`
`= (cos x/2 + sin x/2)`
`therefore sqrt(1 + sin x) = cos x/2 + sin x/2`
इसी प्रकार,
`sqrt(1 + sin x) = cos x/2 + sin x/2`
y = `cot^-1 [((cos x/2 + sin x/2) + (cos x/2 - sin x/2))/((cos x/2 + sin x/2) - (cos x/2 + sin x/2))]`
`= cot^-1 [(cos x/2 + sin x/2 + cos x/2 - sin x/2)/(cos x/2 + sin x/2 - cos x/2 + sin x/2)]`
`= cot^-1 [(2 cos x/2)/(2 sin x/2)]`
`= cot^-1 (cot x/2)`
y = `x/2`
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`dy/dx = 1/2 * d/dx (x) = 1/2`
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